Erklärung Man will die Ableitung von f − 1 f^{-1} an der Stelle x x (rot gestrichelt) herausfinden, und betrachte dazu den Funktionsgraphen von f − 1 f^{-1}: Nun spiegle man ihn an der Winkelhalbierenden des ersten und dritten Quadranten, sodass man den Graphen von f f vor sich hat: Man sieht, dass die Steigung der blauen Geraden im unteren Bild der Kehrwert der Steigung von der im oberen Bild ist, da sich die beiden Katheten im Steigungsdreieck vertauscht haben. Im unteren Bild entspricht diese Steigung aber dem Funktionswert von f\;' an der grün gestrichelten Stelle y y. Es ist also ( f − 1) ′ ( x) = 1 f ′ ( y) (f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(y)}. Ein Blick ins obere Bild zeigt aber: y y ist der Funktionswert von f − 1 f^{-1} an der Stelle x x! Damit ist ( f − 1) ′ ( x) = 1 f ′ ( f − 1 ( x)) (f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(f^{-1}(x))} Herleitung der Formel Diese Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion kann man auch mithilfe der Kettenregel herleiten. Dafür nutzt man aus, dass x = f ( f − 1 ( x)) x=f(f^{-1}(x)) ist.
Ableitung Von Lnx
Satz [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind und differenzierbare Abbildungen, so ist auch die Verkettung differenzierbar. Ihre Ableitung im Punkt ist die Hintereinanderausführung der Ableitung von im Punkt und der Ableitung von im Punkt:
bzw.
Für die Jacobi-Matrizen gilt entsprechend:,
wobei der Punkt die Matrizenmultiplikation bezeichnet. Hier werden die Koordinaten im Definitionsbereich von mit bezeichnet, die Koordinaten im Bildraum von und damit dem Definitionsbereich von mit. Ausgeschrieben mit den Komponenten der Abbildungen und den partiellen Ableitungen:
Höhere Differenzierbarkeit [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sind, für ein, die Abbildungen und von der Klasse, das heißt -mal stetig differenzierbar, so ist auch von der Klasse. Dies ergibt sich durch wiederholtes Anwenden der Kettenregel und der Produktregel auf die partiellen Ableitungen der Komponentenfunktionen. Spezialfall n = m = 1 [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Häufig möchte man die Ableitung einer gewöhnlichen reellen Funktion bestimmen, die aber über einen mehrdimensionalen "Umweg" definiert ist:
mit und.
11. 12. 2008, 19:48
Skype
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ableitung von (lnx)^2
hallo,
wie leite ich denn ln(x)^2 ab? hab ehrlich gesagt keine ahnung. innere funktion wäre für mich x = abgeleitet 1. also 1*ln(x)^2. das weicht allerdings von dem ergebnis ab was ich bei bekommen habe. 11. 2008, 19:49
Duedi
Tipp: Die äußere Funktion ist und die innere
11. 2008, 19:52
also 2x*ln(x)^2?? aber dann wäre ja sowohl die basis als auch der exponent innere funktion. kann nicht nur eins von beiden die innere sein?? 11. 2008, 19:58
rawsoulstar
Das stimmt so leider nicht. Es gilt
\edit: Warum hat denn der Converter Probleme mit \left und \right? 11. 2008, 19:59
sorry, aber damit kann ich nicht viel anfangen
11. 2008, 20:00
Das ist immer noch falsch. Schau:
Wenn du als Verkettung darstellst:, mit und, ist die Ableitung so definiert:. Anzeige
11. 2008, 20:02
Carli
(lnx)² kann man doch mit Kettenregel ableiten, was dann 2lnx/x wäre oder? Produktregel brauch man nur wenn auch außerhalb der Klammer ein x steht.
Ableitung Von Ln X 22
In diesem Fall lässt sich die Kettenregel wie folgt schreiben:
Der letzte Malpunkt bezeichnet dabei das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren, dem Gradienten
der Funktion, ausgewertet an der Stelle, und der vektorwertigen Ableitung
der Abbildung. [1]
Kettenregel und Richtungsableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für den Spezialfall,, mit, ist
die Richtungsableitung von im Punkt in Richtung des Vektors. Aus der Kettenregel folgt dann
Es ergibt sich also die übliche Formel für die Berechnung der Richtungsableitung:
[1]
Beispiel [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
In diesem Beispiel bildet die äußere Funktion, abhängig von. Somit ist
Als innere Funktion setzen wir, abhängig von der reellen Variablen. Ableiten ergibt
Nach der allgemeinen Kettenregel gilt daher:
Ein additives Beispiel mittels Substitution [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um die Ableitung von zu ermitteln, kann man die Funktion zum Beispiel schreiben und dann die Ketten- und Produktregel anwenden, was zu der Ableitung
führt.
Die Kettenregel besagt dann:
Sind, und differenzierbare Mannigfaltigkeiten und ist die Verkettung der differenzierbaren Abbildungen und, so ist auch differenzierbar und für die Ableitung im Punkt gilt:
Kettenregel für Fréchet-Ableitungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die Kettenregel gilt ganz entsprechend für Fréchet-Ableitungen. Gegeben seien Banach-Räume, und, offene Teilmengen und und Abbildungen
und. Ist an der Stelle und an der Stelle differenzierbar, so ist auch die Verkettung an der Stelle differenzierbar und es gilt
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Otto Forster: Analysis 2. Differentialrechnung im R n. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 9. Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2011, ISBN 978-3-8348-1231-5. Konrad Königsberger: Analysis 2. 5. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20389-3. Geiger, Kanzow: Theorie und Numerik restringierter Optimierungsaufgaben. Springer, Berlin / Heidelberg 2002, ISBN 978-3-540-42790-2. Einzelnachweise und Anmerkungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ a b Physiker schreiben hier die Vektoren, bzw., mit Vektorpfeilen (, ) oder mit Fettdruck ( bzw. ).
Ableitung Von Ln X 2 X
Dieses Produkt können Sie nach der Regel Zähler mal Zähler durch Nenner mal Nenner zusammenfassen. Sie bekommen also g'(x) = 1/(x(ln(x)). Wie hilfreich finden Sie diesen Artikel?
Wir können jetzt beide Seiten ableiten: Mit der Kettenregel bekommen wir und Umstellen der Formel nach ( f − 1) ′ ( x) (f^{-1})'(x) liefert ( f − 1) ′ ( x) = 1 f ′ ( f − 1 ( x)) (f^{-1})'(x)=\dfrac1{f'(f^{-1}(x))}. Dieses Werk steht unter der freien Lizenz CC BY-SA 4. 0. → Was bedeutet das?