h t t p: / / w w w. m a t h e - s e i t e. d e / m i t t e l s t u f e / a n a l y s i s - g e r a d e n - u n d - p a r a b e l n / w a c h s t u m / l o g i s t i s c h e s - w a c h s t u m / r e c h e n b e i s p i e l 1 / Logistisches Wachstum beschreibt die meisten Wachstumsprozesse aus unserer Umwelt. Eigentlich wird fast jedes Wachstum welches irgendwie mit Lebewesen zu tun hat, durch logistisches Wachstum beschrieben. Das kann das Wachstum von Pflanzen sein, Bevölkerungswachstum, Entwicklung einer Population, etc.. Die Berechnung von logistischem Wachstum erfolgt über eine Tabelle und Schritt für Schritt, d. h. aus einem Bestand berechnen wir den Bestand vom nächsten Tag/Jahr/Minute/..., daraus dann den übernächsten Bestand usw. Logistische Funktion – Wikipedia. Wir verwenden hierbei die Formel dB(t)=k*B(t)*(G-B(t)), wobei B(t) der aktuelle Bestand ist, G die Grenze, k irgendein Wachstumsfaktor, dB(t) die Zunahme im aktuellen Zeitintervall. (In der Oberstufe/Studium erfolgt dann eine geschicktere Berechnung über e-Funktionen [Kap.
- Logistische Funktion – Wikipedia
Logistische Funktion – Wikipedia
Logistisches Wachstum
9. 3 Logistisches Wachstum
1. Wenn eine Anzahl von Kaninchen auf eine Insel gebracht
wird, auf der sie sich ungestrt ausbreiten knnen, dann
vermehren sie sich anfangs sehr schnell. Durch die Zunahme der Anzahl
sinkt aber das Nahrungsangebot, da die Kaninchen schneller die
Vegetation abfressen als diese nachwachsen kann. Das hat zur Folge,
dass die Vermehrungsrate der Kaninchen absinkt. Die Insel bietet nur
einer bestimmten Anzahl S (Sttigungsgrenze) von
Kaninchen Lebensraum. Beispiel:
Anfangs verluft die Vermehrung der Kaninchen nherungsweise
exponentiell. Bei Annherung an die Sttigungsgrenze kann
die Entwicklung des Bestandes nherungsweise als begrenztes
Wachstum beschrieben werden. Bei exponentiellem Wachstum einer Gre, die
durch eine differenzierbare Funktion f ( t) beschrieben
wird, gilt: Die momentane nderungsrate
(Wachstumsgeschwindigkeit) f ' ( t) ist proportional zum
momentanen Bestand:
Das begrenzte Wachstum (mit Sttigungsgrenze S)
ist dadurch gekennzeichnet, dass die momentane
nderungsrate (Wachstumsgeschwindigkeit) f
' ( t)
proportional zum aktuellen Sttigungsdefizit ist:
Fr ein Wachstum, wie es im Beispiel der Kaninchenpopulation
auftritt, liegt daher folgender Ansatz nahe:
Ein solches Wachstum wird allgemein als logistisches Wachstum
bezeichnet.
In diesem Artikel werden wir uns hauptsächlich auf die binäre logistische Regression mit einem Prädiktor beschränken. Logistische Regression und Wahrscheinlichkeiten
Im Gegensatz zur linearen Regression
sagst du bei der logistischen Regression nicht die konkreten Werte des Kriteriums vorher. Stattdessen schätzt du, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person in die eine oder die andere Kategorie des Kriteriums fällt. So könntest du etwa vorhersagen, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Person mit einem IQ von 112 die Aufnahmeprüfung bestehen wird. Für die Vorhersage verwendest du auch bei der logistischen Regression eine Regressionsgleichung. Überträgst du diese Regressionsgleichung in ein Koordinatensystem, so erhältst du die charakteristische Kurve der logistischen Regression. An ihr kannst du abschätzen, wie wahrscheinlich eine Merkmalsausprägung des Kriteriums für eine Person mit einem bestimmten Prädiktorwert ist und wie gut das Modell zu deinen Daten passt. Die Funktion der logistischen Regression sieht so aus:
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Kurve der logistischen Regression
Logistische Regression versus Lineare Regression
Sehen wir uns nun nochmal etwas genauer an, wie sich die logistische Regression von der linearen Regression unterscheidet.