Taucht in der Koordinatenform einer Ebene außer den Koordinaten $x_1$, $x_2$ und $x_3$ ein Parameter auf, bzw. in der Parameterform außer den Parametern vor den Richtungsvektoren noch ein zusätzlicher Parameter, dann handelt es sich um eine sogenannte Ebenenschar. Wie bei den Geradenscharen geht es dann meistens darum, wie dieser Scharparameter gewählt werden muss, damit die dazugehörige Ebene eine vorgegebene Bedingung erfüllt. Beispiel 1
Für welche Werte von $s$ hat die Ebene $E$ mit der Koordinatengleichung $x_1 - 2x_2 + 2x_3 + s = 1$ vom Punkt $P(1|0|1)$ den Abstand $d(E;P) = 2$? Mit der Hesseschen Normalform von E und der Abstandsformel kann diese Bedingung als Gleichung formuliert werden: $$ \left|\frac{1-2 \cdot 0+2 \cdot 1 +s-1}{3} \right| =2\Longleftrightarrow \left|2+s\right| =6 $$
Diese Gleichung hat die beiden Lösungen $s = 4$ und $s =-8$ für den gesuchten Parameter $s$. Allplan Forum: Automatische Ebene in 3D. Beispiel 2
Gegeben ist die Ebenenschar $E_s: sx_1 + (3 - 2_s)x_2 + x_3 = 4$ und die Ursprungsgerade $\vec{x}=t\left(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{matrix} \right) $.
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Dann schneidet die Gerade die Ebene in genau einem Punkt. 2) Die Gerade ist parallel zu der Ebene, liegt aber nicht innerhalb der Ebene. Dann haben Gerade und Ebene keinen gemeinsamen Punkt. 3) Die Gerade ist parallel zu der Ebene und liegt innerhalb der Ebene. Dann ist jeder Punkt der Geraden auch ein Punkt der Ebene. Im Fall 2) oder 3) müssen der Normalenvektor der Ebene und der Richtungsvektor der Geraden senkrecht aufeinander stehen. Du solltest daher zunächst mal prüfen, ob und für welche das der Fall ist. Lage ebene gerade mp3. Im Fall 3) muss dann der Stützvektor der Geraden in der Ebene liegen. 14. 2022, 05:22
Ulrich Ruhnau
Zitat:
Original von Malte7243
kann irgend einen Wert annehmen. Meine Vorgehensweise wäre es, die Ebenengleichung
als Skalarprodukt aufzuschreiben. Vielleicht hilft es, diesen Ausdruck mit der Geradengleichung zu vergleichen. Wegen könnte man die Geradengleichung in die Ebenengleichung einsetzen und schauen, was passiert. Aus wird dann
Das müßte man vielleicht nur zuende rechnen, um zu bestimmen, welche von Huggy aufgestellten Fälle gültig sind.
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