Es muss natürlich bewiesen werden, dass ein solcher Operator existiert und eindeutig ist. Dieser trägt den Namen äußere Ableitung oder Cartan-Ableitung und wird meistens mit bezeichnet. Innere und äußere ableitung und. Man verzichtet also auf den Index, welcher den Grad der Differentialform angibt, auf welche der Operator angewendet wird. Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Formel für die äußere Ableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man kann die äußere Ableitung auch mit Hilfe der Formel
darstellen, dabei bedeutet das Zirkumflex in, dass das entsprechende Argument wegzulassen ist, bezeichnet die Lie-Klammer. Koordinatendarstellung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei ein Punkt auf einer glatten Mannigfaltigkeit. Die äußere Ableitung von hat in diesem Punkt die Darstellung,
dabei hat die lokale Darstellung
Darstellung über Antisymmetrisierungsabbildung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die äußere Ableitung von -Formen ist einfach durch die totale Ableitung gegeben und stets kovariant ( siehe auch kovariante Ableitung) und antisymmetrisch.
Innere Und Äußere Ableitung Und
In lokalen Koordinaten haben diese Differentialoperatoren die Darstellungen
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
R. Abraham, J. E. Marsden, T. Ratiu: Manifolds, Tensor Analysis, and Applications. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-96790-7. S. Ableitung innere und äußere funktion. Morita: Geometry of Differential Forms. AMS, ISBN 0-8218-1045-6. Fußnoten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ Ivan Avramidi, Notes on Differential Forms (PDF; 112 kB), 2003
↑ Damit hängt eine in der Physik benutzte Sprachregelung zusammen, nach welcher man polare und axiale Vektoren unterscheidet; das Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren ergibt zum Beispiel einen axialen Vektor. Die als bzw. bezeichneten Größen der theoretischen Mechanik (" Drehimpulse " bzw. " Drehmomente ") sind z. B. axiale Vektoren.
Sei ein Vektorfeld, so gilt für den Flat-Operator in Standardkoordinaten von. Der Flat-Operator bildet also Vektorfelder in ihren Dualraum ab. Der Sharp-Operator ist die dazu inverse Operation. Sei ein Kovektorfeld (bzw. Kettenregel | Mathematik - Welt der BWL. eine 1-Form), so gilt (ebenfalls Standardkoordinaten). Kreuzprodukt [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Das Kreuzprodukt ist zwar kein Differentialoperator und wird zudem in der Vektoranalysis nur für dreidimensionale Vektorräume definiert. Trotzdem ist es, insbesondere für die Definition der Rotation, sehr wichtig: Sei ein Vektorraum und zwei Elemente einer äußeren Potenz von, dann ist das verallgemeinerte Kreuzprodukt definiert durch. [2]
Für eine Begründung dieser Definition siehe unter äußere Algebra. Gradient [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Es sei eine partiell differenzierbare Funktion und auf sei das Standardskalarprodukt gegeben. Der Gradient der Funktion im Punkt ist für beliebiges der durch die Forderung
eindeutig bestimmte Vektor. Mit Hilfe des Differentialformen-Kalküls kann man den Gradienten auf einer Riemann'schen Mannigfaltigkeit durch
definieren.
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Beschreibung
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