Einführung
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Beim logistischen Wachstum handelt es sich um ein mathematisches Modell, welches oft für Wachstumsprozesse bei Bakterien angewendet wird. Hier wird das Modell des exponentiellen Wachstums so angepasst, dass es den Verbrauch einer Ressource mit einschließt. Bei einer Bakterienkultur könnte das beispielsweise der Nährboden, der nur eine begrenzte Größe hat, sein. Zu Beginn verläuft der Wachstumsprozess somit exponentiell und, wenn man sich der Sättigungsgrenze nähert, wird er durch ein beschränktes Wachstumsmodell beschrieben. Modell
Eine logistische Wachstumsfunktion hat allgemein folgende Gleichung:
Dabei gilt folgendes für die Parameter:
Beispiel
Auf einem Nährboden vermehrt sich eine Bakterienkultur. Beschränktes wachstum klasse 9 und 10. Zu Beginn befindet sich eine Bakterienkultur aus 15 Bakterien auf dem Nährboden, nach 10 Tagen sind es bereits 114 Bakterien. Der Nährboden bietet Platz für ca. 200 Bakterien. Bestimme zunächst die Schranke:
Da die Anzahl von 200 nie überschritten werden kann gilt.
- Beschränktes wachstum klasse 9.1
- Beschränktes wachstum klasse 9 pro
Beschränktes Wachstum Klasse 9.1
(3) Erläutere, an welcher Stelle die Medikamentenaufnahme von 4 mg/min berücksichtigt wird. (4) Bestimme den Zeitpunkt t, zu dem 90% des maximalen Wertes erreicht sind. Üben: Im Cornelsen Q1 (Lk-Band) findet sich ein Beispiel auf S. 158/159. → Sinnvolle Aufgaben: S. 161/9 und S. 162/12. Beschränktes wachstum klasse 9 pro. Vertiefung: Beschränktes Wachstum
Logistisches Wachstum
Beim logistischen Wachstum ist die Änderungsrate proportional zum Bestand f(t) und zum Restbestand G - f(t):
f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t)) (mit k > 0). G steht hier wieder für die obere Grenze. Die Wachstumsfunktion lautet: $$ f(t) = \frac {G} {1 + b \cdot e^{-kGt}} $$
Aus der Wachstumsfunktion liest man für t = 0 ab (Deutung? ): $ f(0) = \frac {G} {1 + b} $
DGL: f '(t) = k ⋅ f(t) ⋅ (G - f(t))
Beispiel: In diesem Beispiel betrachten wir einen Ureinwohnerstamm im Regenwald. Isoliert von der Außenwelt leben hier 5000 Ureinwohner. Einer der Ureinwohner bekommt eine hoch ansteckende (aber ungefährliche! ) Influenza. 4 Wochen später zählt man 300 Kranke.
Beschränktes Wachstum Klasse 9 Pro
Als neue Vokabel kann der Begriff des " Junktors " eingeführt werden, der als Synonym für "logische Verknüpfung"
verwendet wird, gleichzeitig oft aber auch das Verknüpfungssymbol selbst bezeichnet. Sprachlich wird zwischen der jeweiligen Verknüpfung selbst (z. B. einer
Konjunktion) und dem sie bezeichnenden Wort beziehungsweise Sprachzeichen (zum Beispiel dem Wort "und" beziehungsweise dem Zeichen "∧") oft nicht
unterschieden. Beschränktes Wachstum (Klasse 9). Das sollte in der Schule auch im Rahmen dieser Unterrichtseinheit mit Augenmaß gehandhabt werden. In der Regel wird man diesen Aspekt nicht
aktiv thematisieren. Aufgabe 3 ("Unsichtbare Klammern") bietet die Gelegenheit, gleich zu Beginn der Einheit die wichtigen Vorrang-Regeln zu wiederholen und
die oft unsichtbaren Prioritäten durch aktive Klammersetzung zu visualisieren. Dieser Aspekt spielt im Laufe der Einheit immer eine unterschwellige Rolle und
häufig wird man darauf zurückkommen, die Termstrukturen mithilfe von Klammern oder anderen Formen der Visualisierung herauszuarbeiten.
-Kann man auf Grund dieser Erfahrung davon ausgehen, dass im ersten Jahr 20. 000 Artikel verkauft werden? Meine Ideen:
So lautet ja die Standardformel:
wenn ich nun k(t) in Monaten berechne, hätte ich doch für k(0)=0 und für K(1)=2400
Aber was ist nun meine Schranke? Die 3/4, also 30. 000, die 40. 000 Einwohner oder die 20. 000, die sie im ersten Jahr verkaufen? Schon mal vielen Dank für eure Tipps. Wie gesagt bin ich leider wirklich die totale Niete:-(
Die obere Schranke der Funktion wird zwar faktisch nie erreicht, jedoch kommen ihr die Funktionswerte beliebig nahe. Somit ist für S = 30000 anzusetzen. Deine Formel ist eine Rekursion, das ist nicht so günstig. Bekanntes aus Klasse 9. Verwende besser die Funktion
mit s = 30000
(der Prozentsatz p ist in diesem Falle nicht von Interesse). Nun werden zur Berechnung der Konstanten a und c die beiden Bedingungen
k(0) = 0 und k(1) = 2400
verwendet. Die weitere Challenge besteht nun darin, die Gesamtanzahl der in einem Jahr verkauften Artikel zu ermitteln. Dazu muss die Wachstumsfunktion in den Grenzen von 0 bis 12 integriert werden, denn deren Funktionswerte stellen ja immer nur den momentanen Bestand dar.