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Wir kennen bereits die Polynomfunktionen mit Funktionstermen wie x, x², x²+2, x³ + x + 1 usw.
Also namentlich lineare Funktionen, quadratische Funktionen,
kubische Funktionen etc.
Als nächstes lernen wir einen weiteren Typ kennen,
und zwar die Exponentialfunktionen. Mit deren Hilfe lassen sich Wachstums- und Zerfallsprozesse in der Natur beschreiben. Es handelt sich um eine Exponentialfunktion,
wenn sich die Unbekannte x im Exponenten befindet. Beispiel: f(x) = 2 x
Weitere Beispiele:
f(x) = 3 x
g(x) = 5 x
h(x) = 100 x
Dabei ist der Wert der Basis festgelegt (ein konstanter Wert). Die allgemeine Form der Exponentialfunktion lautet:
f(x) = a x
Und es gilt x ∈ ℝ, wobei a konstant und positiv ist, außerdem a ≠ 0
(da 0 0 problematisch ist). Das a muss stets positiv sein. Denn wenn a negativ wäre, dann würden wir beispielsweise erhalten:
\( (-2)^{ \frac{1}{2}} = \sqrt{-2} = \text{nicht definiert} \)
Interaktiver Graph
Einfach den Punkt nach oben und unten bewegen. Exponentialfunktion aus zwei Punkten (Übersicht). Er gibt den Wert der Basis a an:
Bestimme Die Gleichung Einer Exponentialfunktion - Bung 5
Deshalb ist der obige Graph von y=1xy=1^xy=1x einfach eine Gerade. Im Fall von y=2xy=2^xy=2x und y=3xy=3^xy=3x (nicht abgebildet) sehen wir dagegen eine zunehmend steiler werdende Kurve für unseren Graphen. Bestimme die Gleichung einer Exponentialfunktion - bung 5. Das liegt daran, dass mit steigendem x der Wert von y immer größer wird, was wir "exponentiell" nennen. Nun, da wir eine Vorstellung davon haben, wie Exponentialgleichungen in einem Graphen aussehen, lassen Sie uns die allgemeine Formel für Exponentialfunktionen angeben:
y=abd(x-c)+ky=ab^{d(x-c)}+ky=abd(x-c)+k
Die obige Formel ist ein wenig komplizierter als die vorherigen Funktionen, mit denen Sie wahrscheinlich gearbeitet haben, also lassen Sie uns alle Variablen definieren. y – der Wert auf der y-Achse
a – der vertikale Streckungs- oder Stauchungsfaktor
b – der Basiswert
x – der Wert auf der x-Achse
c – der horizontale Translationsfaktor
d – der horizontale Streckungs- oder Stauchungsfaktor
k – der vertikale Translationsfaktor
In dieser Lektion werden wir nur sehr grundlegende Exponentialfunktionen durchgehen, so dass Sie sich über einige der oben genannten Variablen keine Gedanken machen müssen.
Exponentialfunktion Aus Zwei Punkten (Übersicht)
Der beste Weg, dies zu lernen, ist, einige Übungsaufgaben zu lösen! Exponentialfunktionen Beispiele:
Nun wollen wir ein paar Beispiele ausprobieren, um die ganze Theorie, die wir behandelt haben, in die Praxis umzusetzen. Mit etwas Übung werden Sie in der Lage sein, Exponentialfunktionen mit Leichtigkeit zu finden! Beispiel 1:
Bestimmen Sie die Exponentialfunktion in der Form y=abxy=ab^xy=abx des gegebenen Graphen. Finden einer Exponentialfunktion anhand ihres Graphen
Um diese Aufgabe zu lösen, müssen wir die Variablen "a" und "b" finden. Außerdem müssen wir beide algebraisch lösen, da wir sie nicht aus dem Graphen der Exponentialfunktion selbst bestimmen können. Schritt 1: Lösen für "a"
Um "a" zu lösen, müssen wir einen Punkt auf dem Graphen wählen, an dem wir bx eliminieren können, da wir "b" noch nicht kennen und daher den y-Achsenabschnitt (0, 3) wählen sollten. Da b0 gleich 1 ist, können wir feststellen, dass a=3 ist. Als Abkürzung, da wir keinen Wert für k haben, ist a einfach gleich dem y-Achsenabschnitt dieser Gleichung.
Übersicht
Basiswissen
Exponentialfunktionen gibt es in verschiedenen Varianten. Jede Variante hat einen eigenen Lösungsweg. Diese sind hier kurz angedeutet. Grundlegende Lösungsidee
Man setzt beide Punkte in den Grundbauplan der gesuchten Funktionsgleichung ein. Dadurch entstehen zwei Gleichungen mit Unbekannten, also ein lineares Gleichungssystem. Dieses löst man. Erweiterte Exponentialfunktion
◦ f(x) = a·c^x
◦ Gegeben (1|2) und (4|0, 25)
◦ Es gibt zwei Unbekannte: a und c
◦ Beide Punkte einsetzen und dann LGS lösen. ◦ Ausführliche Erklärung steht auf der Seite:
◦ => Erweiterte Exponentialfunktion aus zwei Punkten Einfache Exponentialfunktion
◦ f(x) = a^x
◦ Gegeben: (3|8) und (5|32)
◦ Es gibt nur eine Unbekannte: a
◦ Man bestimmt a mit einem der zwei Punkte. ◦ Mit dem anderen Punkte macht man dann eine Probe. ◦ Ersten Punkte einsetzen:
◦ 8 = a^3 | dritte Wurzel
◦ Mögliche Lösung: f(x) = 2^x
◦ 2 = a | Probe mit zweitem Punkt:
◦ 32 = 2^5, also:
◦ f(x) = 2^x ✔ Einfache e-Funktion
◦ f(x) = e^x
◦ Es gibt keine Unbekannte.