Kleinster gemeinsamer Vielfacher In diesem Artikel erklär ich dir alles, was du für das Berechnen des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) von mehreren Zahlen wissen musst. Dieser Beitrag ordnet sich thematisch den Rechenregeln und Rechengesetzten im Fach Mathematik unter. Um verstehen zu können, wie man das kleinste gemeinsame Vielfache mehrerer Zahlen korrekt berechnet, muss vorher genauestens geklärt werden, was man grundsätzlich unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen versteht und wie man dieses als Ergebnis erhält. Was ist der kleinste gemeinsame Vielfacher? Unter dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen oder auch kgV genannt versteht man die kleinste Zahl, welche ein Vielfaches der zu untersuchenden Zahlen darstellt. Um dies besser verstehen zu können, verdeutlichen wir dies an einem kurzen Beispiel. Kleinster gemeinsamer vielfacher aufgaben erfordern neue taten. Beispiele zur Berechnung Als erstes zeige ich dir ein Beispiel aus dem alltäglichen Leben, welches von einem rechnerischen Beispiel gefolgt wird. Stell dir vor, du und dein Freund verdienen so viel pro Stunde: Anna: 6€/Stunde Johannes: 12€/Stunde Nun möchten Anna und Johannes herausfinden, wie lange beide mindestens arbeiten müssen, bis sie genau gleich viel Geld verdienen.
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Dabei werden die Primfaktoren, die in beiden Zerlegungen auftauchen, nicht mehrfach multipliziert. In diesem Beispiel rechnen wir also:
$\text{kgV}(36, 75) = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 900$
Der Primfaktor $3$ kommt in dem kgV nicht dreimal, sondern zweimal vor, denn die Zahl $36$ enthält den Primfaktor zweimal, die Zahl $75$ nur einmal. Somit ist $900$ das kleinste gemeinsame Vielfache von $36$ und $75$. Primfaktorzerlegung, kgV und ggT online üben. $\text{kgV}(36, 75) = 900$
Da übereinstimmende Primfaktoren der beiden Zerlegungen nicht doppelt multipliziert werden, kommt in dem kgV jeder Primfaktor höchstens so oft vor, wie in jeder einzelnen der beiden Zahlen. Daher gilt:
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen ist maximal so groß wie das Produkt der beiden Zahlen. Das haben wir bei dem Beispiel vom kleinsten gemeinsamen Vielfachen der $2$ und $3$ gesehen. Zusammenfassung kleinstes gemeinsames Vielfaches
Die folgenden Stichpunkte fassen das Wichtigste über das kleinste gemeinsame Vielfache zusammen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie das kleinste gemeinsame Vielfache bestimmt werden kann.
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Übersicht der Arbeitsblätter
Auf diesen Arbeitsblättern wird zu 2 natürlichen Zahlen bis 100 das kleinste gemeinsame Vielfache mit Hilfe von Primfaktorzerlegung ermittelt. Übersicht zu 'Primfaktorzerlegung, kgV und ggT'
Arbeitsblätter zum kgV bis 100 (Primfaktorzerlegung)
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Die Vielfachen der $2$ können wir in der Menge $V_2$ notieren. Diese sind:
$V_2 = \lbrace 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 … \rbrace$
Die Vielfachen der $3$ können wir in der Menge $V_3$ notieren. $V_3 = \lbrace 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 … \rbrace$
Betrachten wir diese beiden Mengen, so sehen wir, dass beide die $6$ und die $12$ enthalten. Die $2$ und die $3$ haben also die $6$ und die $12$ als gemeinsame Vielfache. Kleinstes gemeinsames Vielfaches mit 2 Zahlen bis 100 (Primfaktorzerlegung). Die Vielfachenmengen sind unendlich lang, daher haben die $2$ und die $3$ noch mehr als diese beiden Vielfachen gemeinsam. Das kleinste gemeinsame Vielfache – abgekürzt: kgV – ist die $6$. Kurz können wir dies schreiben als:
$\text{kgV}(2, 3) = 6$
Die Buchstaben $\text{kgV}$ stehen hier für k leinstes g emeinsames V ielfaches. Wir sagen:
Das kleinste gemeinsame Vielfache von $2$ und $3$ ist $6$. Hier haben wir eine Möglichkeit gesehen, das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu bestimmen. Es gibt jedoch noch eine andere Art, das herauszufinden. Für die zweite Möglichkeit schauen wir uns die $6$ und die $9$ an und wollen das kleinste gemeinsame Vielfache dieser zwei Zahlen bestimmen.