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Dieser Satz ist auch als Moivresche Satz (Abraham MOIVRE, 1667-1754) bekannt. Wie bekannt, gibt es für eine n -te Wurzel auch n Werte (Fundamentalsatz der Algebra),
dies kommt hier durch die verschiedenen Argumente zum Ausdruck. Beispiel:
Gesucht ist die dritte Wurzel aus 8. Wurzel aus komplexer zähler. \underline z = 8 \cdot {e^{i \cdot \left( {0 + m \cdot 2\pi} \right)}};
Radizieren ergibt:
\sqrt[3]{ {\underline z}} = 2 \cdot {e^{i \cdot
\frac{ {\left( {0 + m \cdot 2\pi} \right)}}{3}}};
\quad m \in Z\)
damit ergeben sich drei Wurzeln:
\(\begin{array}{l}
1. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {0 \cdot \frac{2}{3}\pi} \right) + i \cdot \sin \left( {0
\cdot \frac{2}{3}\pi} \right)} \right) = 2
\\
2. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {1 \cdot \frac{2}{3}\pi} \right)
+ i \cdot \sin \left( {1 \cdot \frac{2}{3}\pi} \right)} \right) = - 1 + i \cdot {\rm{1}}{\rm{, 7321}}
3. & 2 \cdot \left( {\cos \left( {2 \cdot \frac{2}{3}\pi} \right) + i \cdot \sin \left( {2 \cdot \frac{2}{3}\pi} \right)}
\right) = - 1 - i \cdot {\rm{1}}{\rm{, 7321}}
\end{array}\)
alle weiteren Vielfachheiten sind identisch mit den drei genannten Werten!
Wurzel Aus Komplexer Zahl Ziehen
Es gibt also nur zwei mögliche Wurzeln - aber die sind verschiedene komplexe Zahlen. Rechnet man die beiden Zahlen explizit aus, erhält man
und überlegt man sich, dass
ist, kommt man zu den Lösungen
die beide quadriert -32 ergeben. Links die Lösung auf dem Hauptzweig, rechts auf dem Nebenzweig der Wurzelfunktion. Man kann sich zwar grundsätzlich merken, dass für natürliche Zahlen n
auf dem Hauptzweig gilt, begibt sich aber schnell auf gefährliches Terrain, wenn man versucht, das aus der angeblichen Multiplikativität der Wurzelfunktion herzuleiten - eigentlich sogar noch schlimmer als gefährliches Terrain: Das Ergebnis stimmt dann, die Begründung ist aber falsch und demnach auch der Beweis. Wurzeln eines Rechners für komplexe Zahlen - eMathHelp. [Im Reellen hat man keine Wurzel-Zweige, weil man für die reelle Wurzel frech einfach
fordert und damit zum Beispiel -2 eben per Definition keine reelle Wurzel von 4 ist, obwohl sie ebenfalls quadriert 4 ergibt. Das funktioniert, weil es immer höchstens zwei Zahlen gibt, die als Lösung in Frage kommen und sich nur im Vorzeichen unterscheiden.
Wurzel Aus Komplexer Zähler
Aloha:) Zum Ziehen der Wurzeln von komplexen Zahlen kann man diese in Polardarstellung umwandeln:$$z^3=-1=\cos\pi+i\sin\pi=e^{i\pi}=1\cdot e^{i\pi}$$Man erkennt nach dieser Umformung den Betrag \(1\) und den Winkel \(\pi\) in der Gauß'schen Zahlenebene.
Der Rechner findet die $$$ n $$$ -ten Wurzeln der gegebenen komplexen Zahl unter Verwendung der de Moivre-Formel, wobei die Schritte gezeigt werden. Deine Eingabe $$$ \sqrt[4]{81 i} $$$. Wurzel aus komplexer zahl ziehen. Lösung Die Polarform der $$$ 81 i $$$ ist $$$ 81 \left(\cos{\left(\frac{\pi}{2} \right)} + i \sin{\left(\frac{\pi}{2} \right)}\right) $$$ (Schritte siehe Polarformrechner). Nach der De Moivre-Formel sind alle $$$ n $$$ ten Wurzeln einer komplexen Zahl $$$ r \left(\cos{\left(\theta \right)} + i \sin{\left(\theta \right)}\right) $$$ durch $$$ r^{\frac{1}{n}} \left(\cos{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)} + i \sin{\left(\frac{\theta + 2 \pi k}{n} \right)}\right) $$$, $$$ k=\overline{0.. n-1} $$$. Wir haben das $$$ r = 81 $$$, $$$ \theta = \frac{\pi}{2} $$$ und $$$ n = 4 $$$.