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Der Beweis ergibt sich unmittelbar aus dem Kreiswinkelsatz, da zwei gegenüberliegende Winkel des Sehnenvierecks Umfangswinkel über zwei komplementären Kreisbögen sind, deren Mittelpunktswinkel sich zu 360° ergänzen. Da Umfangswinkel halb so groß sind wie Mittelpunktswinkel über dem gleichen Bogen, müssen sich die Umfangswinkel zu 360°/2 = 180° ergänzen. Ein anderer Beweis findet sich im Beweisarchiv. Die Umkehrung dieser Aussage stimmt auch, d. h. ist in einem Viereck die Summe gegenüberliegender Winkel 180°, dann ist es ein Sehnenviereck. Formeln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Mathematische Formeln zum Sehnenviereck
Flächeninhalt
mit
Länge der Diagonalen
Umkreisradius
Innenwinkel
Die zuerst genannte Formel für den Flächeninhalt ist eine Verallgemeinerung des Satz des Heron für Dreiecke und wird auch als Satz von Brahmagupta oder Formel von Brahmagupta bezeichnet. Lambacher schweizer 9 pdf ke. Hierbei fasst man ein Dreieck als ein ausgeartetes Sehnenviereck auf, dessen vierte Seite die Länge 0 besitzt, d. h. zwei seiner Eckpunkte liegen aufeinander.
Die Formel von Brahmagupta kann zur Formel von Bretschneider verallgemeinert werden, diese fügt Brahmaguptas Formel einen Korrekturterm, der im Falle eines Sehnenvierecks 0 ist, hinzu und gilt dann für beliebige Vierecke. Ein Viereck mit festen, geordneten Seitenlängen hat genau dann den größtmöglichen Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenviereck ist. Lambacher schweizer 9 pdf player. Ebenso hat ein Vieleck genau dann den größten Flächeninhalt, wenn es ein Sehnenvieleck ist. [1]
Weitere Formeln [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Nach dem Satz des Pythagoras gilt für die Flächeninhalte der Dreiecke ABM, BCM, CDM und DAM
und entsprechend
Der Flächeninhalt des Sehnenvierecks ABCD ist die Summe dieser 4 Flächeninhalte, also gilt
Bezeichnet man die Mittelpunktswinkel, die den Seiten,,, gegenüber liegen, mit,,,, dann gilt nach der Definition von Sinus und Kosinus
und, also. Aus der Formel für die Doppelwinkelfunktionen folgt
Einsetzen in die Formel für den Flächeninhalt ergibt [2]
Gleichungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für die Innenwinkel eines Sehnenvierecks gelten folgende Gleichungen: [3]
Für den Schnittwinkel der Diagonalen gilt:
Für den Schnittwinkel der Seiten a unc c gilt:
Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Japanischer Satz für Sehnenvierecke
Tangentenviereck
Sehnenvieleck
Literatur [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
I.
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N. Bronstein, K. A. Semendjajev, G. Musiol, H. Mühlig (Hrsg. ): Taschenbuch der Mathematik. 7., vollständig überarbeitete und ergänzte Auflage. Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-2007-9. H. Fenkner, K. Holzmüller: Mathematisches Unterrichtswerk. Nach den Richtlinien für die Lehrpläne der höheren Schulen Preußens neu bearbeitet von Dr. Karl Holzmüller. Geometrie. Ausgabe A in 2 Teilen. 12. Auflage. I. Teil. Verlag von Otto Salle, Berlin 1926. Theophil Lambacher, Wilhelm Schweizer (Hrsg. ▷ Schulaufgaben Klasse 9 Lambacher Schweizer | Catlux. ): Lambacher-Schweizer. Mathematisches Unterrichtswerk für höhere Schulen. Ausgabe E. Teil 1. 15. Ernst Klett Verlag, Stuttgart 1965. Harald Scheid (Hrsg. ): DUDEN: Rechnen und Mathematik. 4., völlig neu bearbeitete Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1985, ISBN 3-411-02423-2. Guido Walz [Red. ]: Lexikon der Mathematik in sechs Bänden. 5. Band: Sed bis Zyl. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg / Berlin 2002, ISBN 3-8274-0437-1. Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Beweis des Satzes von Ptolemäus (mit Umkehrung) mit geometrischen Mitteln der gymnasialen Mittelstufe, Landesbildungsserver Baden-Württemberg
Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ Titu Andreescu, Oleg Mushkarov, Luchezar N. Stoyanov: Geometric Problems on Maxima and Minima.
Meine Gefühle sind einfach!!! Genau so würde ein professioneller Rezensent ein Buch zusammenfassen. Letzte Aktualisierung vor 1 Stunde 21 Minuten Feengewitter DAS WAR ALLES, WAS ICH WOLLTE UND MEHR. Es fühlt sich ehrlich an, als würde mein Herz explodieren. Ich liebe diese Serie so sehr!!! Es ist rein ✨ MAGISCH ✨ Letzte Aktualisierung vor 1 Stunde 47 Minuten
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