Diese lautet: Dieselbe Formel können wir auch für die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit aufstellen: Da die Menge A∩B dieselben Elemente beinhaltet, wie die Menge, sind diese Mengen auch gleichwahrscheinlich. Es gilt demnach: Nun können wir die beiden Formeln nach dieser Wahrscheinlichkeit auflösen und durch die Äquivalenz der Wahrscheinlichkeiten gleichsetzen: Je nachdem, ob du diese Formel nun durch P(A) oder P(B) teilst, erhältst den Satz von Bayes für die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A oder anders herum! Super! So einfach lässt sich der Satz von Bayes herleiten! Satz von Bayes - Alles Wichtige auf einen Blick Damit du schnell zum richtigen Ergebnis kommst, wenn es notwendig ist, haben wir dir eine Liste erstellt, mit der du Schritt für Schritt den Weg zur umgekehrten bedingten Wahrscheinlichkeit gehen kannst. Fertig! Schon hast du den Satz von Bayes zur Berechnung deiner Aufgabe verwendet! Nutze diese Liste zuhause für Hausaufgaben und drucke sie dir aus oder schreibe sie ab, um auch im Unterricht auf alles vorbereitet zu sein!
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Aus dem Satz von Bayes ergibt sich folgendes:
('+' gibt an, dass der Test positiv ausgefallen war, '-', dass er negativ war)
Trotz der scheinbar sehr hohen Genauigkeit des Tests, ist die Wahrscheinlichkeit höher, dass jemand der positiv getestet wurde, die Droge nicht konsumiert hat (≈ 75%). Erklärung
Dieses überraschende Ergebnis kommt zustande, da die Anzahl der Nicht-Drogenabhängigen im Verhältnis zu den Drogenabhängigen sehr groß ist. Die Wahrscheinlichkeit für ein falsch positives Ergebnis (Person ist nicht drogenabhängig, aber Test ist positiv) übersteigt mit 1, 4925% die Wahrscheinlichkeit für ein korrektes Ergebnis (Person ist drogenabhängig, und Test ist positiv) (0, 495%). Um das Ganze mit Zahlen zu veranschaulichen: Wenn 1000 Personen getestet werden, würden wir statistisch 5 Drogenabhängige und 995 Nicht-Drogenabhängige erwarten. Von den 995 erwarten wir, das ca. 15 (995 · 1, 5% = 14, 925 ≈ 15) positiv gestestet werden (falsch positives Testergebnis). Von den 5 Drogenabhängigen erwarten wir, dass alle (5 · 99% = 4, 95 ≈ 5) positiv getestet werden.
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Anleitung:
Verwenden Sie diesen Rechner für bedingte Wahrscheinlichkeiten, um die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr(A | B)\) zu berechnen. Bitte geben Sie die Wahrscheinlichkeit \(\Pr(A \cap B)\) und \(\Pr(B)\) im folgenden Formular an:
Weitere Informationen zu diesem bedingten Wahrscheinlichkeitsrechner
Das Konzept der bedingten Wahrscheinlichkeit ist eine der wichtigsten Ideen in Wahrscheinlichkeit und Statistik. Und es ist eine ganz einfache Idee: Die bedingte Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses \(A\)
gegeben
Ein Ereignis \(B\) ist die Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) unter der Annahme auftritt, dass \(B\) ebenfalls auftritt. Das heißt, wir beschränken den Probenraum auf Ausgaben, in denen \(B\) auftritt, und suchen nach der Wahrscheinlichkeit, dass \(A\) in diesem Teilmengen-Probenraum auftritt. Wie lautet also die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit? In mathematischen Begriffen wird die bedingte Wahrscheinlichkeit \(\Pr(A|B)\) nach folgender Formel berechnet:
\[\Pr(A|B) = \displaystyle \frac{\Pr(A \cap B)}{\Pr(B)}\]
Der obige Ausdruck kann umgeschrieben werden und bietet auch eine Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit des Schnittpunkts zweier Ereignisse zu berechnen, wenn die bedingte Wahrscheinlichkeit bekannt ist:
\[ \Pr(A \cap B) = \Pr(A|B) \Pr(B) \]
Warum ist die bedingte Wahrscheinlichkeit wichtig?
Von diesen werden 3% und somit 299, 7 Personen (9. 990 * 0, 03 = 299, 7) fälschlicherweise als "gesucht" identifiziert. Fälschlicherweise als gesucht identifizierte Personen: 9. 990 * 0, 03 = 299, 7
Richtigerweise als gesucht identifizierte Personen: 10 * 0, 92 = 9, 2
Insgesamt als gesucht identifizierte Personen: 299, 7 + 9, 2 = 308, 9
Verhältnis: 9, 2 / 308, 9 = 0, 02978
Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Auslösung eines Alarms tatsächlich auf die Entdeckung einer gesuchten Person zurückgeht, liegt trotz der hohen Treffergenauigkeit der Software aufgrund der geringen a priori-Wahrscheinlichkeit des Merkmals "wird gesucht" bei lediglich 2, 9%. Die hier vorgestellten Inhalte und Aufgaben sind Teil der Vorlesung "Grundlagen der Statistik" im berufsbegleitenden Bachelor-Studiengang Betriebswirtschaftslehre an der Hochschule Harz. Eine vollständige Übersicht aller Inhalte dieser Vorlesung im Wissenschafts-Thurm findet sich hier: Grundlagen der Statistik.