Beweis der inversen Dreiecksungleichung Mathekanal | THESUBNASH - Jeden Tag ein neues Mathevideo - YouTube
Umgekehrte Dreiecksungleichung Beweisen: Bsp. ||R|-|S|| ≤ | R-S| | Mathelounge
[Ungleichungen mit der Gammafunktion] [ Bearbeiten]
ist nach der Hölderungleichung. In der Ungleichung für und
setze und, so ist. Setzt man hingegen und, so ist. Und somit ist. Gautschis Ungleichung [ Bearbeiten]
Carlson-Ungleichung [ Bearbeiten]
Ist eine Folge nichtnegativer Zahlen, wobei nicht alle Folgeglieder verschwinden, so gilt
Hardys erster Beweis der Carlson-Ungleichung
Hardys zweiter Beweis der Carlson-Ungleichung
Hilbertsche Ungleichung [ Bearbeiten]
Sind zwei nichtnegative Zahlenfolgen, bei denen nicht alle Folgeglieder verschwinden und sind zwei Zahlen,
so dass und ist, dann gilt. Für ein ist die Riemannsche Approximationssumme
kleiner als das Integral, weil der Integrand streng monoton fällt. Nun ist nach der Hölderschen Ungleichung. Hilbertsche Ungleichung für Integrale [ Bearbeiten]
Sind zwei stetige Funktionen ungleich der Nullfunktion, so gilt. Umgekehrte Dreiecksungleichung beweisen: Bsp. ||r|-|s|| ≤ | r-s| | Mathelounge. Hardy-Ungleichung für Integrale [ Bearbeiten]
Ist eine integrierbare Funktion und ist, so gilt
Setze. Nach der Substitution ist.
Logische Herleitung Dreiecksungleichungen
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Betrachten wir folgendes Dreieck
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Dreieck mit korrekter Benennung
Daraus lässt sich die normale Dreiecksungleichung folgendermaßen mathematisch formulieren:
Tritt der Fall ein, dass die linke und rechte Seite der Gleichung identisch ist, so wird von einem "entarteten" Dreieck gesprochen. Dabei muss gelten, dass a und b Teilstrecken von c sind. Zusätzlich lässt sich c durch eine Addition der Strecken a und b ausdrücken. Damit lautet die Ungleichung umgestellt:
Es gibt außerdem noch eine umgekehrte Dreiecksungleichung. Diese sieht wie folgt aus:
Als Letztes kann die normale Dreiecksungleichung auch für Vektoren formuliert werden:
Dreiecksungleichung Beweis
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Um die normale Ungleichung zu beweisen, wird diese quadriert. Das darf gemacht werden, da beide Gleichungsseiten durch die Betragsstriche nicht negativ werden können. Durch Anwendung der binomischen Formel entsteht:
Jetzt werden die doppelten Termen gestrichen:
Dieser Zusammenhang ist wahr für jede beliebige Zahl aus dem Raum der reellen Zahlen und beweist damit die Ungleichung.