Rechnen mit Komplexen Zahlen
Darstellungsarten komplexer Zahlen
Es gibt drei Darstellungsarten für Komplexe Zahlen: Die Komponentenform, die trigonometrische Form und die Eulersche Form mit ihren Vor- und Nachteilen. Hier lernen Sie, wie man Komplexe Zahlen in eine Darstellungsart überführt. Komplexe Zahlen - Darstellungsarten - Komponentenform - Trigonometrische Form - Eulersche Form
Umrechnung Komponentenform in Trigonometrische Form:
Ι Z Ι = r = √ (x 2 + y 2)
mit x = r cosϕ und y = r sinϕ
=> Z = r (cos ϕ + i · sin ϕ) und φ = arctan (y/x) sind die x- und y- Koordinaten klar definiert. Herleitung Eulersche Form für Komplexe Zahlen:
Mac Laurinschen Reihe für e ϕ: e ϕ = 1+ φ + φ 2 + φ 3 + φ 4 +…. 1! 2! 3! 4! Ersetze φ durch j·φ, so erhält man:
ej ϕ = 1+ jφ + (j φ) 2 + (j φ) 3 + (j φ) 4 +… = 1+ jφ - φ 2 - j φ 3 + φ 4 +… =. 1! 2! 3! 4! 1! 2! 3! 4! ej ϕ = 1 - φ 2 + φ 4 + j ( φ - φ 3 + φ 5 -…). 2! 4! 3! 5!. |_________| |___________|
cos φ sin φ (nach Definition der Sinus- und Kosinus-Reihe)
=> ej ϕ = cos φ + j sinφ
bzw. mit Berücksichtigung der Länge des Zeigers folgt: Z = r × e i ϕ
Addition und Subtraktion komplexer Zahlen
Die Addition und Subtraktion komplexer Zahlen wird am einfachsten mit der Normalform durchgeführt.
Komplexe Zahlen Division Rechner
Darstellungsformen komplexer Zahlen
Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung
Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung
Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen. Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt. \(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\, i = \sqrt { - 1} \cr}\)
a = Re(z) … a ist der Realteil von z
b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z
i … imaginäre Einheit
Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen.
Komplexe Zahlen Division 2
Für die Multiplikation und Division komplexer Zahlen gelten folgende Regeln:
1. ) Multiplikation
Realteil * Realteil + Realteil * Imaginärteil + Imaginärteil * Realteil + Imaginärteil * Imaginärteil Beispiel #1 2. ) Division
Die Division wird durch eine Multiplikation mit dem konjugiert komplexen Teil des Divisors erweitert. Eine konjugiert komplexe Zahl erhält man durch eine Vorzeichenänderung des Imaginärteiles. Beispiel #2 Die konjugiert komplexe Zahl von 3+2j = 3-2j
Die konjugiert komplexe Zahl von -4-2j = -4+2j
Es ändert sich immer nur das Vorzeichen des Imaginärteiles! Eine konjugiert komplexe Zahl wird mit einem Querstrich dargestellt. Hier ein grafisches Beispiel komplex / konjugiert komplex: Beispiel #3
Komplexe Zahlen Division 10
ich weiß wie die Multiplikation der komplexen Zahlen geht:
bei z=a+bi (a=realteil und b=imaginärerteil)
wäre z. B. z1*z2
(a1a2-b1b2)+(a1b2+a2b1)i
und aus der Multiplikation lasse sich auch die Division herleiten, aber kapiere das null, wie man von z/w, durch die Multiplikationsregeln auf zw/wStrich kommt. Community-Experte
Mathematik, Mathe
Ich kann mich auch täuschen, aber für mich sieht es nicht danach aus, als würde das Rechnen dadurch vereinfacht werden. Ich würde es so machen:
(a + b * i) / (c + d * i) = u + v * i
mit
k = c ^ 2 + d ^ 2
u = (a * c + b * d) / k
v = (b * c - a * d) / k
Der Bruch wurde hier einfach nur mit w_bar erweitert. Es ist das selbe, wie bei der Umformung 1/2 = 2/4 hier wurde der Bruch mit 2 erweitert. Bei deinem Bild wurde der Bruch halt mit wStrich erweitert. Woher ich das weiß: Studium / Ausbildung – Mathe Studium mit Nebenfach Informatik (6. Semester)
Komplexe Zahlen werden dividiert, indem man den Zähler und den Nenner mit der komplex Konjugierten des Nenners multipliziert.
Zwei komplexe Zahlen sind gleich, wenn sie in ihren Real- und Imaginärteilen gleich sind. Eine komplexe Zahl mit dem Imaginärteil gleich null ist ein Element der reellen Zahlen. Eine komplexe Zahl mit dem Realteil gleich null ist ein Element der imaginären Zahlen. Zwei komplexe Zahlen sind konjugiert komplex, wenn sie sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden.