Im vorgegebenen Intervall [a; b] sind alle Funktionswerte
kleiner oder gleich Null ( \( f(x) ≤ 0 \): \( A = \left| \int \limits_{a}^{b} f(x) dx \right| \))
Fall 3:
Die Flächenstücke liegen teilweise oberhalb, teilweise unterhalb der x-Achse. Der Inhalt der Gesamtfläche ergibt sich als Summe der Teilflächen. Flächen zwischen zwei Funktionsgraphen
Die Graphen der Funktionen f und g haben im Integrationsintervall [a; b] keinen Schnittpunkt:
\( A = \int \limits_{a}^{b} (f(x) - g(x)) dx \),
dabei liegt f über g. Die Graphen der Funktionen f und g haben im Integrationsintervall [a; b] mindestens eine Schnittstelle. Dann wird der Flächeninhalt in den drei Schritten berechnet:
1. Schnittstellen berechnen
2. Integralrechnung zusammenfassung pdf gratuit. Differenzfunktionen bilden ("obere" Funktion minus "untere" Funktion)
3. Von Schnittstelle zu Schnittstelle schrittweise integrieren (bzw. von vorgegebenen Grenzen)
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Nun subtrahiert man die Stammfunktion mit der unteren Grenze von der mit der
oberen Grenze und erhält eine Zahl, die dem Flächeninhalt entspricht. Man nennt diese Flächeninhalt-Zahl auch Maßzahl. Sie hat keine Einheit, weil auch die Begrenzungslinien der Fläche keine
Einheiten haben. Beispiel für eine Aufgabe mit
bestimmtem Integral:
Eine Funktion kann mehrere
Nullstellen haben und die eingeschlossene Fläche
kann über oder unter
der x-Achse liegen. Bei der Integralrechnung gibt es
keine "negativen" Flächen, es wird immer der absolute Betrag des Ergebnisses
genommen. Grundlagen der Integralrechnung. Es kann nicht über Nullstellen hinweg integriert werden. Wenn die Funktion
Nullstellen hat, werden die einzelnen Teilflächen jede für sich integriert. Die Teilflächen werden zur Gesamt-Integral-Fläche summiert. Innerhalb des Intervalls werden
die Teilflächen integriert und zur Gesamtfläche summiert. Ähnlich wie bei Nullstellen,
muss man auch die Fläche integrieren,
die von zwei Graphen
eingeschlossen wird, die sich schneiden.
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Erklärung
Einleitung
Die Differential- und die Integralrechnung gehören logisch zusammen, denn das eine ist die Umkehrung des anderen. Wenn du die Integralrechnung verstehen möchtest, hilft es also sich zuerst mit
Ableitung der Potenzfunktion
zu beschäftigen. Wie die Integralrechnung und die Differentialrechnung zusammenhängen lässt sich am besten in einem Bild darstellen:
Durch die Ableitung der Ausgangsfunktion erhält man. Wenn man die Funktion integriert (oder aufleitet), erhält man eine Stammfunktion. Integralrechnung zusammenfassung pdf free. Wir merken uns also folgendes:
Stammfunktionen werden mit Großbuchstaben gekennzeichnet. ist demnach eine Stammfunktion von. Nach der im obigen Bild beschriebenen Logik ist aber nicht nur eine Stammfunktion von, sondern auch eine Stammfunktion von. Um die Konvention mit den Großbuchstaben zu wahren, schreiben wir also
und damit wären wir auch schon bei der Definition der Stammfunktion. Stammfunktion
Eine Funktion ist eine Stammfunktion einer Funktion, wenn für alle gilt:
Die Aufgabe "bestimme eine Stammfunktion von " kann also auch folgendermaßen interpretiert werden: "Finde eine Funktion, die abgeleitet wieder der Ausgangsfunktion entspricht".
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Zusammenfassung
Integralrechnung
Die Integralrechnung ist eine
Art Flächenberechnung. Dabei handelt es sich um den Flächeninhalt unter
krummlinigen Kurven von Funktionen. Solche Flächen können nicht einfach mit
Länge mal Breite berechnet werden. Das Problem solcher Flächenberechnung ist schon sehr alt und wurde bereits
von ARCHIMEDES (287 - 212 vor unserer Zeit) untersucht. ARCHIMEDES
hat z. B. berechnet, wie groß der Flächeninhalt unter einer Parabel ist. Das
ist umso erstaunlicher, als es zu seiner Zeit überhaupt keine praktische
Verwendung für diese Rechnungen gab. Integral [Mathematik Oberstufe]. Eine grundlegende Idee für diese
Flächenberechnung ist folgende: Man versucht, eine "Kurvenfläche" mit
solchen Flächen auszufüllen, die man leicht berechnen kann. Das sind vor
allem Rechteck- und Dreieickflächen. Dann summiert man diese Teilflächen und
erhält die Gesamtfläche. ARCHIMEDES hat die Parabelfläche
ausgefüllt mit gleichschenkligen Dreiecken. Die noch frei gebliebene Fläche
wird immer kleiner und wird mit einem immer kleineren Dreieck ausgefüllt.
Viele Stammfunktionen lassen sich leicht finden, aber noch
mehr lassen sich nur schwer und manche gar nicht finden. So ist z. B. Zudem gibt es keinen
eigentlichen Rechenweg (Algorithmus), um zur Stammfunktion zu kommen,
sondern nur Regeln. Deshalb sind in Tabellen häufige und bekannte
Stammfunktionen oder Grundintegrale aufgeführt. Integralrechnung - Zusammenfassung - Matheretter. Außerdem gibt es im Internet
Integral-Online Rechner. Nun folgen einige Beispiele von Flächen unter Funktionskurven zu sehen,
deren Flächeninhalt berechnet werden könnte. Diese Aufgabenstellungen werden
dir in der Integralrechnung also begegnen:
1. Der Flächeninhalt wird vom
Graph der quadratischen Funktion und der x-Achse eingeschlossen:
2. Der Flächeninhalt wird vom
Graph der kubischen Funktion und der x-Achse eingeschlossen:
3. Der Flächeninhalt wird von
den Graphen zweier quadratischer Funktionen eingeschlossen:
4. Flächeninhalt zwischen den
Graphen zweier quadratischer Funktionen und über deren Schnittpunkte hinaus:
5. Der Flächeninhalt wird
zwischen dem Graphen einer Funktion und einer Geraden eingeschlossen:
6.
Theoretisch kann man mit
allerkleinsten Dreiecken die Parabelfläche ganz ausfüllen. Allerdings nur,
wenn man das unendlich fortsetzt, denn es zeigt sich, dass immer noch Platz
frei bleibt, so klein das Dreieck auch wird. Man bekommt mit dieser Methode
doch schon recht genaue Ergebnisse. Weil die Fläche sozusagen
ausgeschöpft wird, nennt man diese Methode auch "Ausschöpfungs-Methode" (mit
Fremdwort: Exhaustions-Methode). Man sieht, dass statt der Dreiecke auch Rechtecke oder Trapeze oder
Kombinationen solcher Figuren genommen werden können. Die Flächen lassen
sich leicht berechnen und müssen nur summiert werden. Das Ergebnis ist aber
immer nur hinreichend genau. Die Ausschöpfungs-Methode ist keine eigentliche Integralrechnung, denn die
Integralrechnung beruht auf einer völlig anderen Methode. Heute wird die Integralrechnung im wesentlichen so benutzt, wie sie von
G. W. Integralrechnung zusammenfassung pdf document. LEIBNIZ (1646 - 1716) und (1643 - 1727) entwickelt
wurde. Man kann feststellen, dass die Integralrechnung rein rechnerisch die
Umkehr-Rechnung der Differentialrechnung ist, weshalb beide auch zur
Infinitesimal-Rechnung zusammengefasst werden.