Das Verfahren beruht auf der sogenannten Induktionseigenschaft der natürlichen Zahlen. Diese ist Bestandteil des peanoschen Axiomensystems und lautet: Ist T eine Teilmenge von ℕ und gilt ( I) 1 ∈ T ( I I) Für alle n ∈ ℕ gilt: n ∈ T ⇔ n + 1 ∈ T, dann ist T = ℕ. Es sei T = { n: H ( n)} die Menge aller natürlichen Zahlen, für die eine Aussage H ( n) wahr ist. Anwenden der Induktionseigenschaft besagt dann das Folgende. Wenn man zeigen kann a) H ( 1) ist wahr, d. h. 1 ∈ T. b) Für alle n gilt: Wenn H ( n) wahr ist, so ist H ( n + 1) wahr. n ∈ T ⇒ n + 1 ∈ T für alle n ∈ ℕ dann gilt (aufgrund der als Axiom angenommenen Induktionseigenschaft) T = ℕ, was wiederum bedeutet H ( n) ist für alle n ∈ ℕ gültig. Vollständige induktion aufgaben pdf. Um die Allgemeingültigkeit einer Aussage H ( n) über ℕ nachzuweisen, hat man also beim Beweis durch vollständige Induktion zwei Schritte zu vollziehen: Induktionsanfang Man zeigt, dass H ( 1) wahr ist. Induktionsschritt Man zeigt, dass für alle n ∈ ℕ gilt: Aus der Annahme, H ( n) sei richtig, kann auf die Gültigkeit von H ( n + 1) geschlossen werden, d. h. : H ( n) ⇒ H ( n + 1) für alle n ∈ ℕ (Inhalt des Induktionsschrittes ist also eine Implikation A ⇒ B.
Vollständige Induktion Aufgaben Pdf
Induktion
Physik
Leistungskurs
Oberstufe
Skript: Induktion (Herleitung)
Herleitung der Induktionsgesetze im ruhenden und bewegten Leiter. Klausur: Induktion Lösung vorhanden
Induktion, Diagramme, Eigeninduktion, Spule
Lernhilfe: Spule und Kondensator im Wechselstromkreis
induktiver und kapazitiver Widerstand im Wechselstomkreis. externes PDF: Elektromagnetische Induktion
Skript von Rudolf Lehn
Vollständige Induktion Aufgaben Mit Lösung
Induktionsschritt: $n = 1: 1^3 - 1 = 0$ $\rightarrow \; 3$ ist ein Teiler von $0$. $n^3 - n$ ist stets ein Teiler von 3. Zu zeigen ist das diese Behauptung auch für $n + 1$ gilt: $n + 1: $(n+1)^3 - (n + 1)$ $ (n+1) \cdot (n+1) \cdot (n+1) - (n+1)$ $ n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - n - 1$ Zusammenziehen, so dass obige Form $n^3 -n$ entsteht, da für diese bereits gezeigt wurde, dass es sich hierbei um Teiler von $3$ handelt (Induktionsvorraussetzung): $ (n^3 - n)+ 3n^2 + 3n$ $ (n^3 - n)+ 3(n^2 + n)$ Auch der zweite Term ist infolge der Multiplikation der Klammer mit 3 immer durch 3 teilbar!
Beispiel 2 zur vollständigen Induktion Beispiel Hier klicken zum Ausklappen Aussage: Die Summe $1^2 + 3^2 + 5^2 +... + (2n - 1)^2 $ der ungeraden Quadratzahlen bis $2n-1$ ist $\frac{n(2n-1)\cdot (2n+1)}{3}$. Wir können hier die linke Seite wieder in Summenform schreiben: $\sum_{i = 1}^{n} (2i - 1)^2 = \frac{n(2n-1)\cdot (2n+1)}{3}$ 1. Induktionsschritt: $A(1)$, d. h. Vollständige Induktion - Summen | Aufgabe mit Lösung. die Aussage gilt für $n=1$. Einsetzen von $n = 1$: (linke Seite): $\sum_{i = 1}^1 (2 \cdot 1 - 1)^2 = 1$ (rechte Seite): $ \frac{1 \cdot (2 \cdot 1 - 1)\cdot (2 \cdot 1 + 1)}{3} = 1$ Die Behauptung ist im Fall $n = 1$ richtig. 2. Induktionsschritt: Einsetzen von $n = 2$: (linke Seite): $\sum_{i = 1}^2 (2 \cdot i - 1)^2 = (2 \cdot 1 - 1)^2 + (2 \cdot 2 - 1)^2 = 10$ (rechte Seite): $ \frac{2 \cdot (2 \cdot 2 - 1)\cdot (2 \cdot 2 + 1)}{3} = 10$ Auch für $n = 2$ ist diese Aussage wahr. Wir müssen uns jetzt die Frage stellen, ob die Aussage für alle natürlichen Zahlen gilt. Wir setzen wieder $n = k$, dabei ist $k$ eine beliebige Zahl: Methode Hier klicken zum Ausklappen (1) $\sum_{i = 1}^{k} (2i - 1)^2 = \frac{k(2k-1)\cdot (2k+1)}{3}$ Gilt dieser Ausdruck für $n = k$, so gilt er auch für jede darauffolgende Zahl $k +1$.