Kriterien zur Bestimmung von Wendepunkten [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Im Folgenden wird angenommen, dass die Funktion hinreichend oft differenzierbar ist. Gilt dies nicht, so sind die folgenden Kriterien bei der Suche nach Wendepunkten nicht anwendbar. Zuerst wird ein notwendiges Kriterium vorgestellt, das heißt jede zweimal stetig differenzierbare Funktion muss dieses Kriterium an einer Stelle erfüllen, damit unter Umständen an diesem Punkt ein Wendepunkt vorliegt. Danach werden einige hinreichende Kriterien angegeben. Sind diese Kriterien erfüllt, so liegt sicher ein Wendepunkt vor, jedoch gibt es auch Wendepunkte, die diese hinreichenden Kriterien nicht erfüllen. Notwendiges Kriterium [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Sei eine zweimal stetig differenzierbare Funktion, dann beschreibt, wie in der Definition schon angemerkt, die zweite Ableitung die Krümmung des Funktionsgraphen. Da ein Wendepunkt ein Punkt ist, an dem sich das Vorzeichen der Krümmung ändert, muss die zweite Ableitung der Funktion an diesem Punkt null sein.
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5 Antworten
Die Funktion \(f(x)=e^x\) ist überall linksgekrümmt und hat keine Wendepunkte. Notwendige Bedingung für eine Wendestelle: f''(x) = 0, aber es gilt immer \(e^x\neq 0\). Gruß, Silvia
Beantwortet
24 Mai 2021
von
Silvia
30 k
Ou ja! Kannst du mir vielleicht bei der folgenden Aufgabe helfen, weil ich wegen der Lösung verwirrt bin. Die Aufgabe lautet, dass ich die Koordinaten des Wendepunktes bestimmen soll. f(x) = x * e 2x+2 f '(x) = (1+2x) e 2x+2 f ''(x) = (4x+4) e 2x+2 so die Ableitungen hab ich schon und f ''(x) hab ich auch schon = 0 gesetzt es kommt x = -1 raus. Ich hätte jetzt die -1 in die dritte Ableitung eingesetzt, aber in den Lösungen steht, dass ich die -1 in f(x) einsetzen soll. Deswegen dachte ich, dass jede e-Funktion einen Wendepunkt hat, wobei ich gar nicht daran gedacht habe, dass e x ≠ 0 ist. Jetzt frage ich mich, warum in den Lösungen die -1 nicht in die dritte Ableitung eingesetzt wurde, konnte man schon an der -1 erkennen, dass es sich um einen Wendepunkt handelt?
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Zu den Wendepunkt en gehören der Rechts-Links-Wendepunkt und der Links-Rechts-Wendepunkt bzw. Sattelpunkt.
Funktionen Mit Wendepunkt
Es gilt also:
Ist eine Wendestelle, so ist. Hinreichendes Kriterium ohne Verwendung der dritten Ableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Bei Kurvendiskussionen wird in der Regel eine der beiden folgenden hinreichenden Bedingungen verwendet. In der ersten Bedingung kommt nur die zweite Ableitung vor; dafür muss das Vorzeichen von für und für untersucht werden. Wechselt vom Negativen ins Positive, so ist Rechts-links-Wendestelle. Wenn an vom Positiven ins Negative wechselt, so ist eine Links-rechts-Wendestelle. Hinreichendes Kriterium unter Verwendung der dritten Ableitung [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Für die Funktion f(x)=x 4 -x ist die zweite Ableitung bei x=0 gleich Null; aber (0, 0) ist kein Wendepunkt, da auch die dritte Ableitung gleich Null und die vierte Ableitung ungleich Null ist. In der zweiten für einen Wendepunkt hinreichenden Bedingung wird auch die dritte Ableitung benötigt, allerdings nur an der Stelle selbst. Diese Bedingung wird vor allem dann verwendet, wenn die dritte Ableitung leicht zu ermitteln ist.
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Für \(x \in \;]-\sqrt{3}:0[\) ist \(G_{f}\) linksgekrümmt. Für \(x \in \;]0;\sqrt{3}[\) ist \(G_{f}\) rechtsgekrümmt. Für \(x \in \;]\sqrt{3};+\infty[\) ist \(G_{f}\) linksgekrümmt. Graph der Funktion \(f \colon x \mapsto \dfrac{3x}{x^{2} + 1}\), Wendepunkte und Krümmungsverhalten Mathematik Abiturprüfungen (Gymnasium) Ein Benutzerkonto berechtigt zu erweiterten Kommentarfunktionen (Antworten, Diskussion abonnieren, Anhänge,... ). Bitte einen Suchbegriff eingeben und die Such ggf. auf eine Kategorie beschränken. Vorbereitung auf die mündliche Mathe Abi Prüfung Bayern mit DEIN ABITUR. Jetzt sparen mit dem Rabattcode "mathelike". Jetzt anmelden und sparen!
Merke Hier klicken zum Ausklappen Am Rechts-Links-Wendepunkt gilt f´´(x) = 0 und f´´´(x) > 0 Links-Rechts-Wendepunkte Für Links-Rechts-Wendepunkte gilt: Links-Rechts-Wendepunkt mit positiver Steigung Links-Rechts-Wendepunkt ohne Steigung (Sattelpunkt) Links-Rechts-Wendepunkt mit negativer Steigung Aus den Ableitungen an den verschiedenen Links-Rechts-Wendepunkten erkennt man, dass ein LR-Wendepunkt in der ersten Ableitung ein Maximum hat, in der zweiten Ableitung eine Nullstelle und in der dritten Ableitung negativ ist. Merke Hier klicken zum Ausklappen Am Links-Rechts-Wendepunkt gilt f´´(x)=0 und f´´´(x)
Extrempunkte angeben
Es sollen WendePUNKTE angegeben werden: Deshalb noch die y-Koordinate mit der ursprünglichen Funktion berechnen. $f(-\frac23)$ $=(-\frac23)^3+2\cdot(-\frac23)^2-4\cdot(-\frac23)-8$ $=-4, 74$
=> Wendepunkt: $W(-\frac23|-4, 74)$
Wendepunkte bestimmen, Kurvendiskussion, Krümmung