Zusammenfassung
Übersicht
8. 1
Grenzwerte von Folgen durch Ausklammern
8. 2
Grenzwerte von Folgen mit den Grenzwertsätzen
8. 3
Rekursive Folge
8. 4
Grenzwert von Reihen
8. 5
Konvergenz von Reihen
8. 6
Anwendung des Majoranten- und Minorantenkriteriums
8. 7
Konvergenzradius und Konvergenzintervall von Potenzreihen
8. 8
Konvergenzbereich einer Potenzreihe
8. 9
Das große O von Landau für Folgen
8. 10
Limes inferior und Limes superior ⋆
8. 11
Koch'sche Schneeflocke ⋆
8. 12
Checkliste: Grenzwerte von Folgen und praktisches Rechnen mit der Unendlichkeit
8. 13
Checkliste: Unendliche Reihen
Preview
Unable to display preview. Folgen/Reihen Aufgaben. Download preview PDF. Author information Affiliations HAW Würzburg-Schweinfurt, Fakultät Angewandte Natur- und Geisteswissenschaften, Würzburg, Deutschland Andreas Keller Corresponding author Correspondence to
Andreas Keller. Copyright information © 2021 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature About this chapter Cite this chapter Keller, A. (2021). Folgen und Reihen.
Folgen Und Reihen Aufgaben Mit Lösungsweg Online
Leistungskurs
(4/5-stündig)
Folgen Und Reihen Aufgaben Mit Lösungsweg 1
Aufgabenblatt 1 --- Aussagenlogik
Dateien:
Aufgabenblatt (PDF)
(354kB)
Lösung (PDF)
(388kB)
Aufgabenblatt 2 --- Prädikatenlogik
(283kB)
(303kB)
Aufgabenblatt 3 --- Prädikatenlogik, natürliche Zahlen und Registermaschinen
(2260kB)
zum Download per Modem
(185kB)
(199kB)
Das Registermaschinenprogramm sowie Beispielprogramme für den Teilbarkeitsalgorithmus aus Aufgabe 18 gibt es in der Rubrik "Links und weitere Hilfen".
Folgen Und Reihen Aufgaben Mit Lösungsweg 10
Aufgabe (Kriterium von Raabe)
Gilt für fast alle und
für ein, so ist absolut konvergent., so ist divergent. Zeige mit dem Kriteriums von Raabe, dass die folgende Reihe für jedes konvergiert:
Lösung (Kriterium von Raabe)
Teilaufgabe 1:
Zunächst gilt die Äquivalenzumformung
Da die Umformung für fast alle gilt, gibt es ein, so dass sie für alle gilt. Summieren wir nun beide Seiten bis zu einer natürlichen Zahl auf, so erhalten wir
Also ist die Folge der Partialsummen beschränkt. Somit konvergiert die Reihe absolut, und damit auch die Reihe. Im 2. Folgen und reihen aufgaben mit lösungsweg de. Fall gilt für alle die Umformung
Dies ist nun äqivalent zu
Da nun die Reihe divergiert (harmonische Reihe), divergiert nach dem Minorantenkriterium auch die Reihe, und damit auch. Teilaufgabe 2: Hier ist, und damit
Mit folgt nun mit dem Kriterium von Raabe die absolute Konvergenz der Reihe.
Folgen Und Reihen Aufgaben Mit Lösungsweg 3
Zeige:
Konvergiert die Reihe absolut und ist beschränkt, so konvergiert auch die Reihe absolut. Konvergiert die Reihe und ist beschränkt, so muss die Reihe nicht konvergieren. Lösung (Absolute Konvergenz von Reihen mit Produktgliedern)
1. Teilaufgabe:
1. Möglichkeit: Mit Beschränktheit der Partialsummen. Da absolut konvergiert, ist die Partialsummenfolge beschränkt. Weiter ist beschränkt. Daher gibt es eine mit für alle. Damit folgt
Da nun beschränkt ist, ist auch beschränkt. Aus der Ungleichung folgt, dass auch beschränkt ist. Damit konvergiert absolut. 2. Möglichkeit: Mit Majorantenkriterium. Da beschränkt ist, gibt es eine mit für alle. Folgen und reihen aufgaben mit lösungsweg meaning. Damit folgt
Da nun absolut konvergiert, konvergiert auch absolut. Nach dem Majorantenkriterium konvergiert absolut. Teilaufgabe 2:
Wir wissen, dass die harmonische Reihe divergiert und die alternierende harmonische Reihe konvergiert (jedoch nicht absolut). Nun können wir wie folgt umschreiben:
Weiter ist beschränkt, denn. Also ist konvergent, beschränkt, aber divergent.
Anwendung der Konvergenzkriterien [ Bearbeiten]
Aufgabe (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)
Untersuche die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz. Lösung (Anwendung der Konvergenzkriterien 1)
1. Wurzelkriterium:
Damit konvergiert die Reihe absolut. 2. Quotientenkriterium:
3. Minorantenkriterium: Es gilt
divergiert. (Harmonische Reihe)
Damit divergiert die Reihe. 4. Trivialkriterium:
Daher divergiert die Reihe. 5. Wurzelkriterium:
Daher konvergiert die Reihe absolut. 6. Leibnizkriterium: Zunächst gilt
Damit ist
monoton fallend, denn
eine Nullfolge, denn. Also konvergiert die Reihe. Die Reihe konvergiert nicht absolut als Teleskopsumme, denn
7. Folgen und Reihen: Beispiel aus dem Bankwesen. Trivialkriterium:
Also gibt es eine Teilfolge von, die nicht gegen Null konvergiert, und damit ist keine Nullfolge. Also divergiert die Reihe. Anmerkung: Das Leibniz-Kriterium ist hier nicht anwendbar, da keine Nullfolge ist! 8. Leibnizkriterium: Für gilt
ist monoton fallend, da. Also ist eine Nullfolge. Damit konvergiert die Reihe.