Unten die Schwebung, gebildet durch Addition der beiden obigen Verläufe. Additive überlagerung mathematik vs. Die Frequenz der blauen Kurve ergibt sich als Mittelwert der beiden Frequenzen, die Frequenz der einhüllenden Kurve (Rot) ergibt sich als die halbe Differenz der beiden Frequenzen. Zwei harmonische Schwingungen und mit leicht unterschiedlichen Frequenzen und:
Zur Vereinfachung sei angenommen, dass beide Schwingungen dieselbe Amplitude haben. Dann kann die Summenschwingung (Schwebungsfunktion) so dargestellt werden (Index für Resultierende):
Dieser Ausdruck kann durch Anwendung der trigonometrischen Additionstheoreme umgeformt werden:
Dieser Ausdruck lässt sich vereinfachen mit folgenden Festlegungen:: Frequenz der Überlagerungsschwingung ( Mittelwert der Einzelfrequenzen): Frequenz der Einhüllenden
Die Schwebungsfrequenz ergibt sich aus dem Verlauf des Betrages der Einhüllenden:
Die Schwebungsperiode
ist der zeitliche Abstand zwischen zwei Punkten minimaler Amplitude ( Knoten) der Schwebungsfunktion. Die Schwebungsperiode ist umso größer, je näher die beiden Ausgangsfrequenzen und zusammen liegen.
Additive Überlagerung Mathematik Vs
Mit speziellen Schwingungsformen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um das Verständnis der akustischen Schwebung zu erleichtern, finden sich hier beispielhaft vier Schwingungen, die sich in ihrer Wellenform unterscheiden:
Dreieckschwingung
Rechteckschwingung
Sägezahnschwingung
Sinusschwingung
In allen vier Klangbeispielen wurden zwei Schwingungen überlagert, die zunächst dieselbe Startfrequenz von 110 Hz haben. Nach 4 Sekunden wird die Frequenz der einen Schwingung allmählich erhöht (in 8 Sekunden um 50 Cent), dann bleibt sie für 6 Sekunden gleich, wird nun rascher als im Anstieg um 100 Cent verringert und nach einer weiteren stabilen Phase bei −50 Cent wieder auf die Ausgangsfrequenz geändert. Physische Arbeitsmittel durch Augmented Reality erweitern – Eine Fallstudie zu dreidimensionalen Koordinatenmodellen | SpringerLink. Den exakten Verlauf stellt folgendes Diagramm dar:
Frequenzverlauf der veränderlichen Schwingung aus den obigen vier Beispielen. Die konstante Schwingung (nicht eingezeichnet) liegt auf der Null-Linie. In senkrechter Richtung ist die Abweichung der Frequenz der zweiten Schwingung von den 110 Hz der ersten Schwingung aufgetragen, und zwar in Cent.
Additive Überlagerung Mathematik De
Je reiner der Ton klingt, desto deutlicher kann man eine Sinuskurve erkennen. 2) Zwei Stimmgabeln
Man hört eben beide Töne gleichzeitig. Die am Oszilloskop angezeigte Kurve sieht aus wie eine Überlagerung beider einzelnen Kurven. 3) Zwei ähnliche Stimmgabeln
Bei den zwei Stimmgabeln hörte man einen wabernden Ton, der periodisch lauter und leiser wurde. (Waa-Waa-Waa) Wenn der Reiter unten befestigt ist, wechselte Laut und Leise sich nur langsam ab. Ist der Reiter am oberen Ende des Zinkens, so wechselt Laut und Leise sehr schnell und der Ton hört sich sehr schief an. Superposition (Mathematik) aus dem Lexikon | wissen.de. Auf dem Monitor wird eine Schwingung mit sich regelmäßig ändernden Amplituden angezeigt. Erklärung
Zwei Sachen sind dabei bemerkenswert. Das Trommelfell schwingt offensichtlich auch mit mehreren Frequenzen gleichzeitig, kann aber doch nur eine Bewegung machen! Wir hören aber kein Gemisch von zwei Tönen, sondern zwei klar getrennte! Die Luftschwingungen überlagern sich zunächst um dann vom Ohr und dem Gehirn wieder in zwei Töne getrennt zu werden.
Definition von Schwebung
Als Schwebung bezeichnet man die Resultierende der additiven Überlagerung zweier Schwingungen, welche eine ähnliche Frequenz haben. Es entsteht eine Schwingung mit periodisch veränderlicher Amplitude. Beispiel
Schwebung zweier Wellen ( rot und grün) und resultierende Welle ( blau). Daten der Wellen: \( v = 0. Darstellungsformen der Fouriersche Reihenentwicklung | Maths2Mind. 5 \dfrac{m}{s} \), \( \lambda_1 = 2, 0 m \), \( \lambda_2 = 2, 2 m \), \( f_1 = \dfrac{5}{20} Hz \), \( f_2 = \dfrac{5}{22} Hz \)
Wenn man dazu noch die Amplitudenfunktion der resultierende Schwingung einzeichnet ( grau), erkennt man, dass sich die Amplitude der resultierenden Welle periodisch ändert (siehe Rechnung). Rechnung
Man betrachte zwei gleichgerichtete harmonische Schwingungen mit leicht unterschiedlichen Frequenzen
$$ s_1(t) = \hat{s}_1 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_1 \cdot t) $$
$$ s_2(t) = \hat{s}_2 \cdot \sin(2 \pi \cdot f_2 \cdot t) $$
Zur Vereinfachung sei angenommen, dass beide Schwingungen dieselbe Amplitude haben.