Gegeben ist folgende Ebene:
$$
E: 3x_1 + 1x_2 - 5x_3 = -3
bzw. in Parameterdarstellung:
E: \vec{x} =
\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
+ r \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
+ s \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}
Wir untersuchen, die Lage der Geraden $g$ zur Ebene. g: \vec{x} =
\begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix}
+ k \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
Wir untersuchen nicht erst auf Parallelität. Schnittpunkt zwischen gerade und ebene den. Das sollten
Sie aber i. d. Regel zuerst machen, weil es mit dem Normalenvektor
schnell geht. Verfahren mit der Koordinatenform
Am einfachsten untersuchen Sie die Lage der Gerade zur
Ebene mit Hilfe der Koordinatenform der Ebene. Sie setzen
die Geradengleichung in die Koordinatenform ein
und lösen die entstehende Gleichung. Die Gerade:
\begin{array}{rcl}
x_1 &=& 4 + 2k \\
x_2 &=& -5 + 1k \\
x_3 &=& -1 + 2k \\
\end{array}
Eingesetzt in die Koordinatenform:
3 \cdot (4+2k) + 1 \cdot (-5+k) + (-5) (-1+2k) &=& -3 \\
12 + 6k -5 + k + 5 - 10k &=& -3 \\
12 - 3k &=& -3 \\
-3k &=& -15 \\
k &=& 5
Es gibt einen Schnittpunkt zwischen der Gerade und der Ebene
und der Schnittpunkt berechnet sich:
S = \begin{pmatrix} 4 \\ -5 \\ -1 \end{pmatrix}
+ 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} 14 \\ 0 \\ 9 \end{pmatrix}
Verfahren mit der Parameterform
Hier lösen wir ein Gleichungssystem (mit dem Gaussverfahren).
- Schnittpunkt zwischen gerade und ebene 3
- Schnittpunkt zwischen gerade und ebene tv
- Schnittpunkt zwischen gerade und ebene den
Schnittpunkt Zwischen Gerade Und Ebene 3
Aufgabe 4
Gegeben ist eine Ebene
Lösung zu Aufgabe 4
Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. 2022 - 13:48:23 Uhr
Schnittpunkt Zwischen Gerade Und Ebene Tv
Lösung zu Aufgabe 1
Die Bahn des Barsches wird durch die Gerade beschrieben:
Der Kleinkrebs befindet sich im Schnittpunkt der Bahn des Barsches mit dem Boden. Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung des Meeresbodens
ergibt sich der Schnittpunkt mit zu. Für den Winkel zwischen dem Boden und der Bahn des Barsches gilt:
Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung von ergibt sich mit der Schnittpunkt von und zu. Der Schnittwinkel beträgt. Durch Einsetzen von in die Ebenengleichung von ergibt sich ein negativer Wert für, d. h. die Bahn des Zanders schneidet nie die Ebene der Karpfen. Der Schnittwinkel der Bahnen des Zanders und des Barsches beträgt etwa. Gerade schneidet Ebene (Vektorrechnung) - rither.de. Aufgabe 2
Bestimme den Schnittwinkel folgender beider Geraden und. Lösung zu Aufgabe 2
Für den Schnittwinkel zwischen den Geraden und gilt:
Aufgabe 3
Berechne jeweils den Schnittwinkel zwischen den folgenden Objekten:
Zwei Geraden:
Zwei Ebenen:
Ebene und Gerade:
Lösung zu Aufgabe 3
Für den Schnittwinkel zwischen den Ebenen und gilt:
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Schnittpunkt Zwischen Gerade Und Ebene Den
1. Einleitung
Es gibt 3 mögliche Arten, wie Geraden und Ebenen zueinander liegen können. Aber nur bei in einem Fall gibt es einen richtigen Schnittpunkt: Gerade schneidet Ebene: Hier gibt es einen Schnittpunkt. Gerade liegt in Ebene: Hier gibt es keinen "richtigen" Schnittpunkt - sondern unendlich viele! Die ganze Gerade liegt in der Ebene, daher sind alle Punkte auf der Geraden Schnittpunkte. Schnittpunkt zwischen gerade und ebene 3. Gerade parallel zur Ebene: Kein einziger Schnittpunkt. Um herauszufinden, welcher dieser drei Fälle vorliegt kann man den Richtungsvektor der Geraden und den Normalenvektor der Ebene miteinander vergleichen. Danach müsste man auch noch einen Punkt der Geraden in die Ebene einsetzen. Das tut man aber nicht, denn das dauert schon fast genauso lange wie einfach direkt die Rechnung auszuführen (und wenn man herausfindet, dass ein Schnittpunkt vorliegt, dann muss man sowieso rechnen). Praktischerweise spiegeln sich auch alle drei möglichen Lagebeziehungen zwischen Ebene und Gerade im Ergebnis der Rechnung wieder.
Schaubild für das Lösen der Koordinatenform bei Lagebeziehungen von Gerade und Ebene
Beispiele
Beispiel Nr. 1 Koordinatenform:
Die Gerade g Zeilenweise für x 1, x 2, x 3 in Ebene E einsetzen
in Gerade g einsetzen:
Beispeil Nr. 2 Parameterform:
Auf "Parallelität" überprüfen:
Normalenvektor von Ebene E ausrechnen
Ergebnis ist ungleich 0, also das LGS lösen:............................
Aufgaben
Nr. 1 Parallelität
Zeige, dass die Gerade h parallel zur Ebene E ist. Nr. 2 Parallel, identisch oder Schnittpunkt
Untersuche ob Ebene E und Gerade g sich schneiden. Ist dies nicht der Fall, überprüfe ob g und E identisch sind oder parallel. a. ) b. ) c. Vektorrechnung: Gerade - Ebene. )
d. ) e. ) f. )
Nr. 3 Schnittpunkt
Untersuche die gegenseitige Lage von Ebene E und Gerade g.
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