Du kannst die Grenzwerte verschiedener Funktionen anhand des Funktionsterms bestimmen. Hinweise zur Bearbeitung
Behandle die Aufgaben der Reihe nach. Notiere dir selbständig die gewonnenen Erkenntnisse zu den Grenzwerten der jeweiligen Funktionen in dein Heft. Die Lösungen am Ende jeder Aufgabe können dir dabei helfen. Nutze sie möglichst nur, um deine Ergebnisse zu überprüfen. Exponentialfunktionen
Verhalten im Unendlichen der Grundform, a>0
Verhalten im Unendlichen
Untersuche die Funktion mit Hilfe des Schiebereglers a und beantworte die Fragen. a) Welche zwei Fälle müssen für a unterschieden werden? b) Gib die Grenzwerte und in Abhängigkeit von a an. a) Fall1: a>1, Fall2: 0 1: und
0 < a < 1: und
Verhalten im Unendlichen der Form, mit
Untersuche die Funktionen und mit Hilfe der Schieberegler b und d und beantworte die Fragen. a) Welchen Einfluss hat das Vorzeichen von b auf den Verlauf des Graphen? b) Welchen Einfluss hat d auf den Verlauf des Graphen? Verhalten im unendlichen übungen online. c) Was kannst du über die waagrechte Asymptote in Abhängigkeit von b und d sagen?
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Alternativ gibt es für einige Fälle Rechenregeln für die Bestimmung oder man kann sehr große bzw. sehr kleine Zahlen einsetzen. Beispiel 1: Verhalten im Unendlichen
Nehmen wir die ganzrationale Funktion f(x) = 3x 2 -7x. Wie sieht deren Verhalten gegen plus unendlich und minus unendlich aus? Lösung:
Bei ganzrationalen Zahlen sieht man sich den Ausdruck mit der höchsten Potenz an. In unserem Fall 3x 2. Denn der Ausdruck mit der höchsten Potenz steigt am schnellsten oder fällt am schnellsten wenn sehr große oder sehr kleine Zahlen eingesetzt werden. Dies bedeutet, dass wenn man für x immer größeren Zahlen einsetzt (10, 100, 1000 etc. ) das Ergebnis immer größer wird. Setzen wir immer kleinere Zahlen ein (-10, -100, -1000, etc. ) passiert dies auch, denn durch hoch 2 (quadrieren) fliegt das Minuszeichen raus. Grenzwerte von Funktionen - Verhalten im Unendlichen — Mathematik-Wissen. Unter dem Strich kommt plus unendlich in beiden Fällen raus. Anzeige: Ganzrationale Funktion Beispiele
Wer bei Funktionen Probleme hat zu sehen, wie das Verhalten im Unendlichen ist, der kann einfach einmal Zahlen einsetzen.
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Aufgabe 6
Untersuche das Verhalten für für folgende Funktionen:
Lösung zu Aufgabe 6
Fall. Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung ( -Achse). Der Graph von hat also eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung. Aufgabe 7
Lösung zu Aufgabe 7
Für die Funktion gilt:
Vergleicht man Zählergrad und Nennergrad, so sieht man, dass beide und damit identisch sind. Teilt man die Koeffizienten vor durcheinander, erhält man:
Der Graph von hat damit eine waagrechte Asymptote mit der Gleichung. Der Zählergrad ist und der Nennergrad ist, damit ist der Zählergrad größer als der Nennergrad und es gelten:
Der Graph von hat damit eine schiefe Asymptote. Veröffentlicht: 20. 02. 2018, zuletzt modifiziert: 02. Verhalten im unendlichen übungen man. 2022 - 15:01:50 Uhr
3 mal 9 ist 27, minus 9 mal 3 ist auch 27. Deswegen darf ich die 3 nicht einsetzen. Jetzt wählen wir den Grenzwert, den wir berechnen wollen. Ich wähle hier Limes x gegen plus unendlich von der Funktion 3 minus x, geteilt durch 3x² minus 9x. Jetzt kommt der dritte Schritt: Wir formen f(x) um, und zwar nehmen wir uns hier den Nenner vor. Limes x gegen plus unendlich, der Zähler bleibt also erst einmal unbehandelt, 3 minus x. Und hier unten klammern wir jetzt 3x aus. Und, na ja klar, was bleibt übrig? Hier bleibt ein x übrig, und hier minus 3. Und jetzt können wir diese beiden fast schon kürzen. Jetzt müssen wir nur noch ein minus 1 im Zähler oder im Nenner herauskürzen. Beziehungsweise einfach erweitern, das könnt ihr machen, wie ihr wollt. Ich nehme mir jetzt hier den Zähler. Minus 1 mal, dann dreht sich das Vorzeichen hier um, x minus 3, geteilt durch 3x mal x minus 3. Ihr könnt das alternativ auch im Nenner machen. Verhalten im unendlichen übungen e. Dann steht die minus 1 einfach im Nenner. Jetzt ist das Schöne, dass hier die x minus 3 sich herauskürzen.
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