Auf dieser Seite geht es darum, wie sich eine gegebene Normalengleichung einer Ebene in eine vektorielle Parametergleichung dieser Ebene umwandeln lässt. Dazu sei die folgende Ebene E in Normalenform gegeben:
Eine Parametergleichung dieser Ebene lässt sich auf zwei verschieden Weisen herstellen. Umwandlung von Normalenform in Koordinatenform - Matheretter. Für beide Varianten benötigt man zunächst die Koordinatenform der Ebene. Dazu bringen wir die gegebene Normalengleichung in die folgende Form
und schreiben Vektor → x komponentenweise mit x, y, z
Ausrechnen des Skalarproduktes auf beiden Seiten liefert die Koordinatenform
2x + 3y + 4z = 19
Aus dieser Darstellung können wir nun problemlos eine Parametergleichung der Ebene gewinnen.
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Beschreiben wir den Normalenvektor durch die drei Koordinaten x, y, z führt das auf diese beiden Gleichungen
Rechnen wir die Skalarprodukte aus und schreiben die Gleichungen untereinander, so ergibt das ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten
Die erste Gleichung ergibt notwendig y = 0. Die zweite Gleichung hat mehr als eine Lösung. Da wir nur eine benötigen, können wir einen der beiden Parameter – entweder x oder z frei wählen. Wählen wir z. B. z = 5 so ist zwangsläufig x = 3. Ebene von Normalform in Parameterform umwandeln - lernen mit Serlo!. Damit ist also
ein möglicher Normalenvektor (eine Probe würde schnell bestätigen, dass die entsprechenden Skalarprodukte mit den beiden Richtungsvektoren aus der Parametergleichung jeweils Null ergeben). Tipp: Man kann natürlich auch einen Normalenvektor von Hand oder mit einem Taschenrechner berechnen, indem man das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) → u x → v der beiden Richtungsvektoren bildet. Insgesamt erhaltet wir somit die folgende Normalenform für die vorliegende Ebene
Man mache sich klar, dass es unendlich viele äquivalente Normalengleichungen für ein und dieselbe Ebene gibt – man braucht ja dafür bloß einen Punkt aus der Ebene (wovon es unendlich viele gibt) und einen zur Ebene senkrechten Vektor (auch davon gibt es unendlich viele)!
Ebene Von Normalform In Parameterform Umwandeln - Lernen Mit Serlo!
Von der Parametergleichung zur Normalengleichung: In diesem Beitrag wird an einem Beispiel gezeigt, wie sich eine Ebene in Parametergleichung / Punktrichtungsform in eine Normalengleichung / Normalenform umwandeln lässt. Die Aufgabe besteht also darin, eine Parametergleichung
einer Ebene in eine Normalengleichung
umzuwandeln. Den Stützvektor → a aus der gegeben Parametergleichung können wir direkt in die Normalengleichung übernehmen. Normalengleichung in Parametergleichung. Der Normalenvektor → n 0 muss senkrecht zur Ebene, also senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren → u und → v aus der Parametergleichung stehen. Betrachten wir als Beispiel die folgende Parametergleichung
In einem ersten Schritt übertragen wir den Stützvektor, der ja für einen Punkt aus der Ebene steht, in die Normalengleichung und gelangen damit zunächst zur folgenden Darstellung
Das der Normalenvektor → n 0 senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren verläuft, bedeutet natürlich, dass das Skalarprodukt von → n 0 mit den beiden Richtungsvektoren jeweils Null ergibt.
Umwandlung Von Normalenform In Koordinatenform - Matheretter
Geschrieben von: Dennis Rudolph Montag, 08. Juni 2020 um 18:25 Uhr Die Umwandlung einer Ebene von einer Parametergleichung in Normalenform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:
Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt. Beispiele für die Umwandlung von Parameterdarstellung in Normalenform. Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen. Ein Video zur Ebenenumwandlung. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet. Tipp: Um diese Ebenenumwandlung durchzuführen braucht ihr das Kreuzprodukt. Dieses behandeln wir hier auch gleich noch. Falls ihr noch mehr darüber wissen wollt oder nicht alles versteht werft zusätzlich noch einen Blick in Kreuzprodukt / Vektorprodukt. Parametergleichung in Normalenform Erklärung
In der analytischen Geometrie geht es manchmal darum eine Gleichung einer Ebenen umzuformen. Hier sehen wir uns an wie man von einer Ebenengleichung in Parameterform in eine Ebenengleichung in Normalenform kommt. Sehen wir uns die Vorgehensweise an. Vorgehensweise:
1. Wir nehmen die beiden Richtungsvektoren der Ebene und bilden einen Normalvektor.
Normalengleichung In Parametergleichung
Geschrieben von: Dennis Rudolph Freitag, 12. Juni 2020 um 17:50 Uhr Die Umwandlung einer Ebene von der Normalenform in die Parameterform sehen wir uns hier an. Dies sind die Themen:
Eine Erklärung, wie man Ebenen umwandelt. Beispiele für die Umwandlung von Normalenform in eine Parametergleichung. Aufgaben / Übungen zum Umwandeln von Ebenen. Ein Video zur Ebenenumwandlung. Ein Frage- und Antwortbereich zu diesem Gebiet. Tipp: Um diese Ebenenumwandlung durchzuführen, braucht ihr das Skalarprodukt. Wir werden dieses hier gleich noch vorstellen. Wem dies nicht reicht wirft jedoch noch einen Blick auf Skalarprodukt berechnen. Normalenform in Parameterform Teil 1
So geht man vor um eine Ebene von der Normalenform in die Parameterform umzuformen:
Schritt 1: Normalenform in Koordinatenform umwandeln. Schritt 2: Koordinatenform in Parameterform umwandeln. Schritt 1: Normalenform in Koordinatenform
Wandle diese Gleichung in die Parameterform um. Lösung:
Im ersten Schritt stellen wir zunächst die Gleichung auf wie in der folgenden Grafik zu sehen.
Lesezeit: 2 min
Wie dies geht, haben wir bereits bei Umwandlung von Parameterform in Koordinatenform geklärt. Hier sei der Weg noch einmal dargestellt:
Gegebene Normalenform:
((x | y | z) - (0 | 2 | -1)) · (-12 | -11 | -5) = 0
(X - A) · N = 0
Wir können ablesen:
A = (0 | 2 | -1)
N = (-12 | -11 | -5)
Mit dem Normalenvektor N und dem Vektor A können wir die Koordinatenform aufstellen:
Koordinatenform:
X · N = A · N
X · (-12 | -11 | -5) = (0 | 2 | -1) · (-12 | -11 | -5) | rechts das Skalarprodukt berechnen
(x | y | z) · (-12 | -11 | -5) = 0*(-12) + 2*(-11) + (-1)*(-5)
(-12)·x + (-11)·y + (-5)·z = -17
bzw.
-12·x - 11·y - 5·z = -17
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