Tangente durch einen Kurvenpunkt
Eine Tangente an eine Kurve $f$ im Kurvenpunkt $P(x_0|f(x_0))$ ist eine Gerade, die $f$ in diesem Punkt berührt. Um an einer vorgegebene Stelle $x_0$ eine Tangente an die Funktion $f$ anzulegen, berechnest Du den Funktionswert $f(x_0)$ und die Ableitung $f'(x_0)$ an dieser Stelle und setzt alles ein in die Tangentengleichung: $$ t: y=f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0) $$
Das ergibt dann nach kurzer Umformung die Geradengleichung der Tangente durch den Kurvenpunkt $(x_0|f(x_0))$. Wendetangenten sind einfach Tangenten durch einen Kurvenpunkt, der gleichzeitig auch noch ein Wendepunkt der Funktion $f$ ist. Beispiel: Tangente durch einen Kurvenpunkt
Wir bestimmen die Gleichung der Tangente an die Funktion $f(x) = \frac{1}{x^2+1}$ an der Stelle $x_0 + 1$. Tangente durch punkt außerhalb au. Der Funktionswert ist dann $f(1) = \frac{1}{2}$ und mit $f'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2}$ haben wir noch die Steigung $f'(1) = -\frac{1}{2}$. Also hat die Tangente $t$ im Kurvenpunkt $(1|\frac{1}{2})$ die Gleichung: $$ y = \frac{1}{2}(x - 1) + \frac{1}{2} \textrm{, bzw. } y = - \frac{1}{2}x + 1 $$
Tangente durch einen Punkt außerhalb der Kurve
Wir bezeichnen jetzt mit $(x_1|y_1)$ einen Punkt, der nicht auf der Funktion $f$ liegen soll.
Tangente Durch Punkt Außerhalb Au
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