1. Lösen Sie folgende quadratische Gleichungen. a) b) c) d) e) f) 2. Analysieren Sie die p-q-Formel. Geben Sie an, unter welchen Bedingungen – keine Lösung – eine Lösung – zwei Lösungen auftreten 3. Bestimmen Sie k so, dass genau eine Lösung existiert. Berechnen Sie diese. 4. Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen. a) b) c) d) e) f) 5. Gegeben ist die Gleichung: a)Bestimmen Sie die Definitionsmenge und die Lösungsmenge. b)Welche Zahl müsste statt 5 auf der rechten Seite der Gleichung stehen, damit die sonst unveränderte Gleichung die Lösung 2 1/2 hat? 6. Ein Rechteck ist 6 m lang und 4 m breit. Länge und Breite sind um den gleichen Betrag so zu verlängern, dass die Fläche verdoppelt wird. 7. Ein Spielzimmer hat die Grundfläche von 52 m 2. Der Raum ist um 1, 50 m länger als breit. Bestimmen Sie die Maße. 8. Norma hat ein Rechteck gezeichnet. Der Umfang beträgt 40 cm, der Flächeninhalt beträgt 96 cm 2. Berechnen Sie Länge und Breite. Quadratische Gleichungen: Wiederholung in Beispielen für die Oberstufe. 9. Zeigen Sie: Vermehrt man das Quadrat der Differenz zweier reeller Zahlen um ihr vierfaches Produkt, so erhält man das Quadrat der Summe der beiden Zahlen.
- Textaufgaben Trigonometrie ⇒ Aufgabe und Lösungsweg
- Quadratische Gleichungen | Mathebibel
- Quadratische Gleichungen einfach erklärt | Learnattack
- Quadratische Gleichungen: Wiederholung in Beispielen für die Oberstufe
- Textaufgaben Mathe quadratische Gleichungen? (Schule)
Textaufgaben Trigonometrie ⇒ Aufgabe Und Lösungsweg
In der Mittelstufe notiert man nur eine Lösung. In der Oberstufe werden solche Lösungen oft interpretiert, zum Beispiel als Nullstelle einer Funktion. Graphisch bedeutet es einen Unterschied, ob ein und dieselbe Lösung einmal oder zweimal (oder noch öfter) vorkommt, sodass es sehr sinnvoll ist, die Doppellösung auch entsprechend kenntlich zu machen. Beispiel 4: $\;-x^2+2x-4=0$
Schon das kleine Minus vor dem $x^2$ stört, sodass auch diese Gleichung zunächst auf Normalform gebracht werden muss:
$\begin{align*}-x^2+2x-4&=0&&|:(-1)\\ x^2-2x+4&=0\\ x_{1, 2}&=-\tfrac{-2}{2}\pm \sqrt{\left(\tfrac 22\right)^2 -4}\\ &=1\pm \sqrt{1-4}\end{align*}$
Die Gleichung hat keine reelle Lösung, da man aus einer negativen Zahl keine Wurzel ziehen kann. Gleichungen ohne Absolutglied
Das Absolutglied einer quadratischen Gleichung ist der Summand ohne Variable, also in der Normalform das $q$. Textaufgaben Mathe quadratische Gleichungen? (Schule). Prinzipiell ist es zwar auch für $q=0$ möglich, die $pq$-Formel zu verwenden, aber es gibt einen langfristig besseren Weg: Ausklammern.
Quadratische Gleichungen | Mathebibel
Wie breit ist der Fluss? Auch bei dieser Aufgabe machen wir zunächst eine Skizze:
Um die fehlende Strecke x zu berechnen müssen wir aufgrund der fehlenden Hypotenuse den Tangens benutzen:
Die Breite des Flusses beträgt an dieser Stelle 55 Meter.
Quadratische Gleichungen Einfach Erklärt | Learnattack
Die Einteilung basiert auf dem Vorhandensein des linearen Glieds ( $bx$) und des absoluten Glieds ( $c$). Nur wenn du in der Lage bist, diese vier Arten voneinander zu unterscheiden, kannst du das jeweils am besten geeignete Lösungsverfahren auswählen. Reinquadratische Gleichungen Bei reinquadratischen Gleichungen ist das lineare Glied ( $bx$) nicht vorhanden: Beispiel 12 $3x^2 = 0$ ist eine reinquadratische Gleichung ohne Absolutglied. Beispiel 13 $5x^2 - 10 = 0$ ist eine reinquadratische Gleichung mit Absolutglied. Quadratische Gleichungen | Mathebibel. Gemischtquadratische Gleichungen Bei gemischtquadratischen Gleichungen ist das lineare Glied ( $bx$) vorhanden: Beispiel 14 $x^2 + 2x = 0$ ist eine gemischtquadratische Gleichung ohne Absolutglied. Beispiel 15 $-7x^2 - 4x + 11 = 0$ ist eine gemischtquadratische Gleichung mit Absolutglied. Quadratische Gleichungen lösen Die Zahlen, die wir für $x$ einsetzen dürfen, stammen aus der sog. Definitionsmenge. Jede Zahl aus der Definitionsmenge, die beim Einsetzen für $x$ zu einer wahren Aussage führt, heißt Lösung der Gleichung.
Quadratische Gleichungen: Wiederholung In Beispielen Für Die Oberstufe
Beispiel 1
Eine Leiter lehnt an der Wand. Die Leiter ist 5 m lang. Der Abstand zur Wand beträgt 1, 5 m. Auf welcher Höhe trifft die Leiter auf die Wand? Wie groß ist der Winkel zwischen Leiter und Wand? Wir machen hierzu als erstes eine Skizze auf der wir die bekannten und gefragten Größen eintragen:
Wir beginnen mit der Berechnung von α. Hierfür benutzen wir den Sinus:
Als nächstes berechnen wir a. Wir benutzen den Kosinus von α dafür. Die Seite a ist also 4, 8 m lang. Wir überprüfen das Ergebnis mit Hilfe des Pythagoras:
Die Höhe der Leiter an der Wand beträgt 4, 8 Meter. Der Öffnungswinkel zwischen Wand und Leiter ist gleich 17, 5°. Unser Lernvideo zu: Textaufgaben Trigonometrie
Beispiel 2
Ein Mann soll die Breite eines Flusses bestimmen ohne ihn zu überqueren. Dazu peilt er von einem Flussufer senkrecht über den Fluss das gegenüberliegende Flussufer an. Anschließend geht er genau 20 Meter den Fluss entlang und peilt von dort dieselbe Stelle am Gegenüberliegenden Flussufer an. Zwischen seiner Blickrichtung und dem Flussufer misst er einen Winkel von genau 70°.
Textaufgaben Mathe Quadratische Gleichungen? (Schule)
Beispiel 7 $2x^2 - 8x + 6 = 0$ ist eine quadratische Gleichung in allgemeiner Form. Beispiel 8 Handelt es sich bei $x (x^2 + 4) + 1 = x^3 - 2x^2$ um eine quadratische Gleichung? Wir versuchen, die Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ zu bringen. $$ \begin{align*} x (x^2 + 4) + 1 &= x^3 - 2x^2 &&{\color{gray}| \text{ Ausmultiplizieren}} \\[5px] x^3 + 4x + 1 &= x^3 - 2x^2 &&{\color{gray}|\, -x^3} \\[5px] 4x + 1 &= - 2x^2 &&{\color{gray}|\, +2x^2} \\[5px] 2x^2 + 4x + 1 &= 0 \end{align*} $$ Ja, es handelt es sich um eine quadratische Gleichung. Beispiel 9 Handelt es sich bei $x (x^2 + 4) + 1 = - 2x^2 + 4x$ um eine quadratische Gleichung? Wir versuchen, die Gleichung durch Äquivalenzumformungen in die allgemeine Form $ax^2 + bx + c = 0$ zu bringen. $$ \begin{align*} x (x^2 + 4) + 1 &= - 2x^2 + 4x &&{\color{gray}| \text{ Ausmultiplizieren}} \\[5px] x^3 + 4x + 1 &= - 2x^2 + 4x &&{\color{gray}|\, +2x^2} \\[5px] x^3 + 2x^2 + 4x + 1 &= 4x &&{\color{gray}|\, -4x} \\[5px] x^3 + 2x^2 + 1 &= 0 \end{align*} $$ Nein, es handelt es sich nicht um eine quadratische Gleichung, denn die Variable $x$ kommt in einer höheren als der 2.
G31 Quadratische Gleichungen
Einfache Aufgaben mit Zahlen:
1,
2,
3
Schwierigere Aufgaben mit Zahlen:
4,
5,
6
Textaufgaben:
8,
9,
10,
11,
12,
13,
14,
15,
16,
17,
18,
19,
20
Parameteraufgaben:
7
Quadratische Ungleichungen:
21,
22
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Aufgabe 1
Zehn Aufgaben der Form ax 2 +bx=0 und ax 2 +c=0,
die Sie nie mit der Formel lösen sollten. LÖSUNG
Aufgabe 2
Zwanzig Aufgaben, die sich gut mit Faktorzerlegung lösen lassen. Aufgabe 3
Fünfzehn Aufgaben, an denen Sie die Anwendung der Lösungsformel üben können. Aufgabe 4
a)
2x 2 - (x+2)(x-2) = 13(4-x)
b)
(x+5) 2 - (2x-1)(3x+5) = (x+3) 2 - (x+1) 2
c)
2(3x+1) 2 - 32(3x+1) + 126 = 0
Aufgabe 7
x 2 - 2ax + 6ab = 9b 2
x 2 - x + a = a 2
x 2 - b 2 = a(2x-a)
d)
(a 2 - b 2)x 2 - 2ax + 1 = 0
Aufgabe 8
Bestimmen Sie zwei Zahlen mit dem Produkt 4. 5 so, dass die Summe ihrer Kehrwerte gleich 1. 1 ist. Aufgabe 9
Fügt man einer zweistelligen (natürlichen) Zahl die Ziffer 2 einmal links und einmal rechts hinzu,
so ist das Produkt der entstehenden Zahlen 2222 mal so gross wie die ursprüngliche Zahl.