1. Beispiel
Ist f(x) an der Stelle x 0 =2 stetig? f(x) ist an der Stelle x=2 0. Alle x-Werte kleiner als 2 haben den Funktionswert -1. Alle x-Werte größer als 2 haben den Funktionswert 1.
dingung: Ist die Stelle x 0 Teil der Definitionsmenge? f(x) ist für x=2 definiert. Die Stelle x 0 =2 ist also Teil der Definitionsmenge. f(x) erfüllt an der Stelle x=2 die erste Bedingung. dingung: Besitzt f(x) einen beidseitigen Grenzwert an der Stelle x 0? Stetigkeit (mehrdimensional) | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie. Der beidseitige Grenzwert existiert, wenn der rechts- und linksseitige Grenzwert identisch sind. Bestimme also den rechtsseitigen Grenzwert, um die Stetigkeit zeigen zu können! Weil du dich der Stelle 2 von größeren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, größer als 2. Deine Funktion ist für diese Zahlen also immer 1. Deshalb ist auch dein Grenzwert gleich 1. Analog rechnest du den linksseitigen Grenzwert aus: Weil du dich der Stelle 2 von kleineren Zahlen näherst, sind alle Zahlen, die du in deinen Limes einsetzt, kleiner als 2.
Aufgaben Zur Stetigkeit Mit Lösung
Bilder kompakter Mengen unter stetigen Funktionen sind wieder kompakt
Beweise, dass jedes Bild einer kompakten Menge unter einer stetigen Abbildung kompakt ist.
Aufgaben Zu Stetigkeit Definition
Neben den in der Tabelle genannten Funktionen sind auch alle Funktionen, die sich aus diesen Funktionen durch Grundrechenarten oder Verkettung zusammensetzen lassen, in ihrer Definitionsmenge stetig. Außerdem sind differenzierbare Funktionen stetig. Unstetigkeit von Funktionen Wir weisen darauf hin, dass eine in $x_0$ unstetige Funktion nach unserer Definition in $x_0$ definiert ist. In der mathematischen Literatur werden manchmal auch Definitionslücken als Unstetigkeitsstellen (Stellen, an denen die Funktion nicht stetig ist) bezeichnet. Stetigkeit. Aussage [2] veranschaulicht $$ \lim_{x \to x_0} f(x) \text{ existiert nicht} $$ In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der linksseitige Grenzwert (Annäherung an den weißen Punkt) und der rechtsseitige Grenzwert (Annäherung an den schwarzen Punkt) nicht übereinstimmen. Der beidseitige Grenzwert $x \to x_0$ existiert folglich nicht. Aussage [3] veranschaulicht $$ \lim_{x \to x_0} f(x) \neq f(x_0) $$ In der Abbildung lässt sich leicht erkennen, dass der Grenzwert (sowohl der links- als auch der rechtsseitige Grenzwert nähern sich dem weißen Punkt an) nicht dem Funktionswert (schwarzer Punkt) an dieser Stelle entspricht.
Man erhält dann
Somit ergibt sich die gesuchte Parabelschar als
Je nachdem, welche Variable als Parameter gesetzt wird, können hier verschiedene Ergebnisse stehen. Die Forderung ist nötig, da die Parabel nach unten geöffnet sein sollte. Mit dem Zwischenergebnis aus der vorhergehenden Aufgabe bestimmt man, indem man zusätzlich fordert, dass der Graph von durch den Punkt verläuft. Es folgt:
Nun wird die Steigung der Tangente an den Graphen von im Punkt bestimmt. Es gilt:
Schließlich berechnet man noch den Schnittwinkel von Funktionen über die Tangensformel. Man kann das ganze Problem an der -Achse gespiegelt betrachten und mit den positiven Werten der Steigung rechnen. Man erhält für den Schnittwinkel daher
Aufgabe 4
Gegeben sind die Punkte
Welchen Grad muss mindestens haben? Stelle alle Gleichungen auf, die erfüllen muss. Aufgaben zu stetigkeit mit. Hinweis: Eine Gleichung für die Funktion selbst muss nicht gefunden werden. Lösung zu Aufgabe 4
Beide Strecken sind gerade und haben daher eine Krümmung von. Der Graph der Funktion muss zusätzlich durch die Punkte und verlaufen.
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