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Stunde 1 – 3: Wiederholung der Binomialverteilung:
Im ersten Teil einer Planarbeit soll in den Vorüberlegungen die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer binomialverteilten Zufallsgröße (Sammelfiguren in Überraschungseiern) für eine relativ kleine Kettenlänge bestimmt werden. Dadurch wird gewährleistet, dass eventuell auch ein Baumdiagramm zur Lösung des Problems herangezogen werden kann. Stochastik - Mittelwert, Erwartungswert, Standardabweichung - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. Mithilfe des eingeführten Schulbuchs oder auch des ausgelegten Infoblattes frischen die Schülerinnen und Schüler ihre Kenntnisse auf über:
Bernoulli-Versuch, Bernoulli-Kette, Binomialverteilung, die Formel von Bernoulli
Singuläre (Einzel-) und kumulierte Wahrscheinlichkeiten
Erwartungswert und Standardabweichung* binomialverteilter Zufallsgrößen
* Für die Abiturjahrgänge 2021 & 2022 kann der Begriff der Standardabweichung nicht vorausgesetzt werden und muss eventuell neu eingeführt werden. An die Bearbeitung von Umkehraufgaben zur Formel von Bernoulli (Bestimmen von k; n oder p) ist im Basisfach standardmäßig nicht gedacht.
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Das neu Erarbeitete wird in der dritten Phase anhand einer Aufgabe eingeübt und vertieft. Den Abschluss dieser Übungsphase bildet eine aus dem gleichen Sachkontext stammende Teilaufgabe, welche die Anwendung der Binomialverteilung erfordert. Nach dieser Einführung folgt nun eine Übungsphase zu folgenden Aufgabentypen:
Abgrenzung binomial- / normalverteilte Zufallsgrößen
Skizzieren der Glockenkurve eines annähernd normalverteilten Datensatzes
Näherungsweises Bestimmen von Wahrscheinlichkeiten durch Abschätzen des Flächeninhalts unter einer Glockenkurve
Ggf. Erwartungswert standardabweichung aufgaben lösungen in holz. erster Einsatz des WTR zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen
Stunde 6: Einfluss der Kenngrößen auf die Form der Glockenkurve
Haben die Schülerinnen und Schüler in der vorangegangenen Stunde die Bedeutung der Glockenkurve zum Ermitteln von Wahrscheinlichkeiten bei normalverteilten Zufallsgrößen erfahren, so sollen sie im nächsten Schritt in die Lage versetzt werden, die Glockenkurve anhand der Kenngrößen Erwartungswert und Standardabweichung zu skizzieren.
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Bei der Übungsaufgabe "Schuhgrößen" bietet sich auch eine Erhebung im eigenen Kurs an, um so z. B. auf Streuung und Stichprobenumfang einzugehen. Es kann auch der Erwartungswert (Mittelwert) und die Standardabweichung der verhältnismäßig kleinen Stichprobe "unser Kurs" ermittelt werden und mit den gegebenen Werten vergleichen werden. Stunde 10 – 11: Komplexere Übungen oder mögliche Vertiefungen
Komplexere Übungen stellen z. Übungsaufgaben mit Musterlösungen zur Statistik: Standardabweichung. anwendungsbezogene Problemstellungen dar, für deren Lösung sowohl die Binomial- als auch die Normalverteilung zur Modellierung herangezogen werden. Bei der Übungsaufgabe "Körpergrößen" bietet sich wieder eine Erhebung im eigenen Kurs an, allerdings sollte im Falle auffällig großer oder auffällig kleiner Schüler oder Schülerinnen sensibel vorgegangen werden. Als mögliche Vertiefung eignet sich die Herleitung und Anwendung der Sigma-Regeln. Unterrichtsgang: Herunterladen [pdf][185 KB]
Unterrichtsgang: Herunterladen [docx][56 KB]
Weiter zu Planarbeit: Wiederholung der Binomialverteilung
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In der Erarbeitungsphase ergänzen die Schülerinnen und Schüler in Einzel- oder Partnerarbeit einen Lückentext, in dem der Einfluss der Kenngrößen einer Normalverteilung auf die Form der Glockenkurve zusammengefasst wird. Sie entdecken die Zusammenhänge anhand von sechs Paaren, bei denen in der grundlegenden Version Glockenkurven einer Reihe von Kenngrößen zugeordnet sind. Zur Differenzierung kann auch noch eine Version auf erweitertem Niveau angeboten werden. Hier sind den Kenngrößen und Glockenkurven noch zusätzlich die Funktionsgleichungen zugeordnet. Erwartungswert standardabweichung aufgaben lösungen pdf. In beiden Versionen werden die Schülerinnen und Schüler auch aufgefordert, insbesondere den Bereich [ μ - σ; μ + σ] zu betrachten, so kann ggf. auf die 1-Sigma-Regel eingegangen werden. In der Übungsphase bearbeiten die Schülerinnen und Schüler Aufgaben zum
Ablesen von Erwartungswert und Standardabweichung aus Glockenkurven
Beschreiben von Auswirkungen der Variation jeweils eines Parameters (μ bzw. σ) auf die Lage/Form der Glockenkurve
Skizzieren von Glockenkurven bei gegebenen Kenngrößen
Hinweis: Der y-Wert des Hochpunkts kann mithilfe des WTR ermittelt werden
(CASIO: Normal-Dichte; TI: Normalpdf)
Je nach Bedarf und individueller Schwerpunktsetzung kann bereits in dieser Stunde das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten mithilfe des WTR erfolgen.
Berechnung des Erwartungswertes:
Multipliziere jeden Wert x i von X mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit P(X=x i)
Addiere alle so erhaltenen Werte. Als Formel: μ(X)=x 1 · P(X=x 1)+ x 2 · P(X=x 2) +... + x n · P(X=x n)
Standardabweichung σ(X) (lies: "sigma von X")
Die Standardabweichung einer Zufallsgröße X gibt grob gesagt an, wie stark die Wahrscheinlichkeitsverteilung um den Erwartungswert gestreut ist. Bestimme den Erwartungswert μ.
Subtrahiere den Erwartungswert von jedem Wert x i den die Zufallsgröße annehmen kann. Multipliziere die Ergebnisse mit der zugehörigen Wahrscheinlichkeit. Addiere alle so erhaltenen Produkte. Als Formel: σ(x) = √ Σ (x i − μ) 2 · P(X = x i)=√ [(x 1 − μ) 2 · P(X = x 1)+ (x 2 − μ) 2 · P(X = x 2) +... Erwartungswert standardabweichung aufgaben lösungen arbeitsbuch. + (x n − μ) 2 · P(X = x n)]
Paul hat sich ein Glücksspiel überlegt: Es wird mit einem Würfel gewürfelt. Beim Würfeln einer Quadratzahl erhält der Spieler 5 Euro, ansonsten muss der Spieler 2 Euro zahlen. Lässt du dich auf das Spiel ein? Berechne Erwartungswert und Standardabweichung und interpretiere.