Sollen Sie nämlich die Parabel mithilfe der quadratischen Ergänzung in Scheitelform angeben, so ist die Form * (s. o. ) die beste Ausgangslage. Von der allgemeinen Form zur Nullstellengleichung
Aus der allgemeinen Form ermittelt man die Nullstellenform, indem man zunächst die Nullstellen berechnet. Nullstellenform in scheitelpunktform. Beispiel 3: Die Funktionsgleichung $f(x)=-2x^2+6x+8$ soll in Linearfaktordarstellung angegeben werden. Lösung: Wir berechnen die Nullstellen:
$\begin{align*}-2x^2+6x+8&=0&&|:(-2)\\ x^2-3x-4&=0&&|pq\text{-Formel}\\x_{1, 2}&=\tfrac 32\pm \sqrt{\left(\tfrac 32\right)^2+4}\\&=\tfrac 32\pm \sqrt{\tfrac{25}{4}}\\x_1&=\tfrac 32+\tfrac 52=4\\x_2&=\tfrac 32-\tfrac 52=-1\end{align*}$
Die Linearfaktoren sind somit $x-4$ und $x-(-1)=x+1$. Da die Parabel mit dem Faktor $a=-2$ gestreckt ist, erhalten wir als Nullstellengleichung $f(x)=-2(x-4)(x+1)$. Beispiel 4: Gesucht ist die Linearfaktordarstellung von $f(x)=\frac 12x^2+2x+2$. $\begin{align*}\tfrac 12x^2+2x+2&=0&&|:\tfrac 12\text{ bzw. }\cdot 2\\x^2+4x+4&=0&&|pq\text{-Formel}\\x_{1, 2}&=-\tfrac 42\pm \sqrt{\left(\tfrac 42\right)^2-4}\\x_1&=-2\\x_2&=-2\end{align*}$
Beide Lösungen stimmen überein, und die Nullstellengleichung lautet $f(x)=\tfrac 12(x+2)(x+2)=\tfrac 12(x+2)^2$.
Lesezeit: 3 min
Eine der häufigsten Aufgaben wird es sein, die Nullstellen einer quadratischen Funktion zu suchen, also die Schnittpunkte
mit der x-Achse anzugeben. Es gibt bei quadratischen Funktionen viele Möglichkeiten diese zu untersuchen. Die Nullstellenbestimmung sei wieder anhand einer Beispielaufgabe erklärt:
"Bestimme die Nullstellen von f(x) = 3·(x-1)² - 3. " Das erste, was nun gemacht wird, ist die Funktion 0 zu setzen. Warum dies nötig ist, haben wir bereits in den Videos kennengelernt,
zur Wiederholung, wenn f(x) = 0, dann ist die Höhe also 0 und damit wird der Punkt auf der x-Achse liegen:
3·(x - 1)² - 3 = 0 | +3
3·(x - 1)² = 3 |:3
(x - 1)² = 1
Nun wird die Wurzel gezogen. Nullstellenform in scheitelpunktform. Unbedingt das Plus-Minus-Vorzeichen beachten:
(x-1)² = 1 | √
√ (x - 1)² = √1
|x - 1| = ±√1
x - 1 = ±1 | +1
x = 1 ± 1
x 1, 2 = 1 ± 1
Es ergibt sich:
x 1 = 1 + 1 = 2
x 2 = 1 - 1 = 0
Zusammenfassung der Lösungsschritte
Hier die Lösungsschritte zusammengefasst:
1. Funktion gleich null setzen, f(x) = … = 0
2.
2 Antworten
y = 3xhoch2 - 12x +6 ist bereits in Polynomform. Sollst du die Scheitelpunktform auch noch angeben? y = 3xhoch2 - 12x +6 = 3(x^2 - 4x + 2) | quadratische Ergänzung = 3(x^2 - 4x + 4 - 4 + 2) | binomische Formel = 3((x-2)^2 - 2) = 3(x-2)^2 - 6 | Das ist die Scheitelpunktform. Scheitelpunkt S(2|-6)
Beantwortet
2 Feb 2018
von
Lu
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