Eine Ebene im dreidimensionalem Raum ist in Parametergleichung bzw. Parameterform, wenn diese der folgenden Gleichung genügt: Dabei sind r, s reelle Zahlen, der Stützvektor und, die Richtungsvektoren der Ebene Lagebeziehung Gerade Ebene Schnittpunkt Es gibt drei verschiedene Fälle, wie sich eine Gerade zu einer Ebene im dreidimensionalem Raum verhalten kann. Eine Gerade kann die Ebene in einem Punkt schneiden, in der Ebene liegen oder parallel zur Ebene verlaufen. Grafisch kannst du dir das wie folgt vorstellen: Schnittpunkt Abbildung 1: Gerade schneidet die Ebene Gerade liegt in der Ebene Abbildung 2: Gerade liegt in der Ebene Gerade liegt nicht in der Ebene, aber Gerade ist parallel zur Ebene Abbildung 3: Gerade verläuft parallel zur Ebene und schneidet diese nicht Falls dir das bis hierhin zu schnell war, dann solltest du dir am Besten den Artikel zur gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene durchlesen! In diesem Artikel widmen wir uns dem ersten Fall, so dass die Gerade die Ebene schneidet und der sogenannte Durchstoßpunkt bzw. Schnittpunkt ausgerechnet werden soll.
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Wenn man 2 Ebenen im Raum betrachtet, gibt es 3 verschiedene Möglichkeiten wie diese zueinander liegen können: 1. Die Ebenen sind identisch. 2. Die Ebenen sind (echt) parallel. 3. Die Ebenen schneiden sich (Schnittgerade). Vorgehensweise Um die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, ist es empfehlenswert, dass eine Ebene E E als Parametergleichung und die andere Ebene F F als Koordinatengleichung vorliegt. Gegeben sind eine Ebene E E in Parameterform E: X ⃗ = A ⃗ + r ⋅ u ⃗ + s ⋅ v ⃗ E:\; \vec X= \vec A+r\cdot \vec u+s \cdot \vec v und eine Ebene F F in Koordinatenform F: n 1 x 1 + n 2 x 2 + n 3 x 3 = n 0 F:n_1x_1+n_2x_2+n_3x_3=n_0 mit n ⃗ = ( n 1 n 2 n 3) \vec n=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}. 1. Entscheidung über die gegenseitige Lage von E E und F F Man betrachtet die Skalarprodukt e zwischen dem Normalenvektor n ⃗ \vec n der Ebene F F und den beiden Richtungsvektoren u ⃗ \vec{u} und v ⃗ \vec{v} der Ebene E E. Man prüft, ob n ⃗ ∘ u ⃗ = 0 \vec n\circ \vec u = 0 und n ⃗ ∘ v ⃗ = 0 \vec n\circ \vec v = 0 ist.
Drei Ebenen mit linear unabhängigen Normalenvektoren besitzen den Schnittpunkt
Zum Beweis überzeuge man sich von unter Beachtung der Regeln für ein Spatprodukt. [1]
Abstand zwischen Punkt und Ebene [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Der Abstand zwischen dem Punkt und der Ebene mit der Koordinatenform beträgt:
Wenn drei Punkte,, gegeben sind, durch die die Ebene verläuft (siehe Dreipunkteform), dann lässt sich der Abstand mit folgender Formel berechnen:
Dabei steht für das Kreuzprodukt, für das Skalarprodukt und für den Betrag des Vektors. Alternativ kann man auch
einsetzen. [2]
Siehe auch [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Planarität, das Maß für die Ebenheit
Ebenengleichung
Koordinatenform
Achsenabschnittsform
Parameterform
Dreipunkteform
Weblinks [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Erklärungen zu Geraden, Ebenen, ihrer gegenseitigen Lage, Abständen und Winkeln mit frei drehbaren dreidimensionalen Applets
Einzelnachweise [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
↑ a b CDKG: Computerunterstützte Darstellende und Konstruktive Geometrie (TU Darmstadt)
↑ Wolfram MathWorld: Point-Plane Distance
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Man unterscheidet drei mögliche Lagebeziehungen zweier Ebenen $E$ und $F$.! Merke
Wenn sich zwei Ebenen schneiden, gibt es keinen Schnittpunkt sondern eine Schnittgerade. Ähnlich wie bei Lagebeziehung von Ebene und Gerade versucht man die Schnittgerade zu berechnen. Wenn man dabei jedoch auf eine wahre Aussage (z. B. $0=0$) stößt, sind die Ebenen identisch. Bei einer falschen Aussage (z. $8=0$) sind sie parallel. i
Tipp
Am einfachsten ist es die Schnittgerade zu berechnen, wenn beide Ebenen in der Koordinatenform vorliegen. Beispiel
$\text{E:} x-y+z=2$
$\text{F:} 2x+y+z=4$
Gleichungssystem aufstellen
Die zwei Gleichungen können als Gleichungssystem angesehen werden. $x-y+z=2$
$2x+y+z=4$
Nun sollte man eine Variable wegfallen lassen. Hier erreicht man das, indem man z. die beiden Gleichungen addiert. I. +II. $3x+2z=6$
Variable mit $r$ ersetzen
Eine der übrigen Variablen wird jetzt durch $r$ ersetzt und in die Gleichung eingesetzt. Beispielsweise x:
$\color{red}{x=r}$
$3r+2z=6$
Die andere Variable ($z$) lässt sich nun in Abhängigkeit von $r$ ausdrücken.
Schnittgerade zweier Ebenen Koordinatenform
Falls beide Ebenen in Koordinatenform vorliegen, brauchst du nicht erst eine Ebene von der Koordinatenform in Parameterform umrechnen. Du kannst dir direkt ein Gleichungssystem bauen. Die Lösung des Gleichungssystems ist dann die Schnittgerade zweier Ebenen. Schau dir das am besten an einem Beispiel an: Gegeben sind die Ebenen und in Koordinatenform. Zusammen kannst du beide Ebenen als Gleichungssystem sehen. hritt: Lineares Gleichungssystem vereinfachen
Bisher ist das Gleichungssystem zu kompliziert. Mit dem Additionsverfahren kannst du es vereinfachen. Addiere dafür jeweils die rechten und linken Seiten der Gleichungen. Wenn du eine Erinnerungsstütze brauchst, schau dir unser Video zum Additionsverfahren
an! Du bekommst dann Folgendes heraus:
Sortiere die Terme um und du siehst, dass sich viel vereinfachen lässt. Falls du es mal mit schwierigeren Ebenen zu tun haben solltest, kannst du dein Wissen über lineare Gleichungssysteme
mit unserem Video auffrischen.
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$-2x+2y-2z=-4$
I. +II. $0=3$ f. A.
Ergebnis deuten
Wir erhalten einen Widerspruch bzw. eine falsche Aussage. $0\neq3$
$E$ und $F$ haben daher keinen gemeinsamen Punkt. Die Ebenen müsssen parallel sein. => $E$ und $F$ sind parallel
Zwei parallele Ebenen lassen sich auch daran erkennen, dass die Normalenvektoren der Ebenen Vielfache voneinander ( kollinear) sind.
Beispiel 3: Gegeben sind eine Kugel k mit M ( 5; 2; 1) u n d r = 7 sowie eine Ebene ε durch ihre Gleichung 2 x + 2 y + z = 6. Der Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene ε beträgt: d = | [ ( 5 2 1) − ( 1 1 2)] ⋅ ( 2 2 1) ⋅ 1 3 | = 3 Damit ist d < r, die Ebene ε schneidet also die Kugel k. Die Koordinaten des Mittelpunktes M s des Schnittkreises und sein Radius r s werden ermittelt durch Aufstellen der Gleichung für die Geraden durch M in Richtung des Normalenvektors n ε → der Ebene ε und Einsetzen in die Ebenengleichung: x → = ( 5 2 1) + t ⋅ ( 2 2 1); t ∈ ℝ 2 ⋅ ( 5 + 2 t) + 2 ⋅ ( 2 + 2 t) + ( 1 + t) = 6 9 t = − 9 t = − 1 Man erhält schließlich: r s = r 2 − d 2 = 49 − 9 = 40 = 2 ⋅ 10 M s ( 3; 0; 0)