Eine Abbildungs- oder Darstellungsmatrix ist eine Matrix (also eine rechteckige Anordnung von Zahlen), die in der linearen Algebra verwendet wird, um eine lineare Abbildung zwischen zwei endlichdimensionalen Vektorräumen zu beschreiben. Basiswechsel (Vektorraum). Die aus diesen abgeleiteten affinen Abbildungen, Affinitäten und Projektivitäten können ebenfalls durch Abbildungsmatrizen dargestellt werden. Begriff [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Voraussetzungen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Um eine lineare Abbildung von Vektorräumen durch eine Matrix beschreiben zu können, muss zunächst sowohl im Urbildraum als auch im Zielraum eine Basis (mit Reihenfolge der Basisvektoren) fest gewählt worden sein. Bei einem Wechsel der Basen in einem der betroffenen Räume muss die Matrix transformiert werden, sonst beschreibt sie eine andere lineare Abbildung. Wenn in der Definitionsmenge und der Zielmenge eine Basis gewählt worden ist, dann lässt sich eine lineare Abbildung eindeutig durch eine Abbildungsmatrix beschreiben.
Abbildungsmatrix Bezüglich Bases De Données
Zur Beschreibung des Vektors reichen daher in \(V\) zwei Koordinaten aus, wohingegen in der Standardbasis vier Koordinaten nötig sind.
Abbildungsmatrix Bezüglich Basic Instinct
04. 2012, 00:08
ok, jetzt konvergiere ich gerade zu sehr müde, aber morgen werde ich noch versuchen, all diese Transformationsmatrizen die du oben notiert hast aufzuschreiben und mir auch überlegen, wie ich vorgehen könnte, wenn ich zuerst nur die Abbildung bezüglich der Standardbasisvektoren betrachte und dann erst diese Bildvektoren transformiere. Gleiche Zeit, gleicher Kanal:p
Danke
04. 2012, 14:51
Ich hab noch ne Zwischenfrage:
Wenn ich nun wiederum diesen Vektorraum mit der Basis (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, 1) betrachte und dann zum Beispiel einfach (1, 1, 1) + (1, 1, 1) rechne - dann ist das ja auch eine lineare Funktion und dann ist das Resultat wiederum NICHT (2, 2, 2) sondern (0, 0, 2)? 04. 2012, 14:53
04. Abbildungsmatrix bezüglich bases de données. 2012, 15:23
seufz. Also Addition ist ja eine lineare Abbildung - dh man wirds irgendwie mit ner Matrix darstellen können. Warum denn muss man nach dem Addieren das Resultat nicht neu schreiben - nach Multiplikation mit Abbildungsmatrix (siehe oben) jedoch muss man die Koordinaten neu bestimmen?
Abbildungsmatrix Bezüglich Basis
Verallgemeinerung auf abstrakte Vektorräume [ Bearbeiten]
To-Do:
DAS Diagramm zur Veranschaulichung, was passiert einfügen und darauf verweisen. Wir haben im Artikel Hinführung zu Matrizen gesehen, wie wir eine lineare Abbildung durch eine Matrix beschreiben können. Damit können wir lineare Abbildungen vergleichsweise einfach angeben. Frage ist nun: Bekommen wir in allgemeinen Vektorräumen ebenfalls eine solche Beschreibung? Das heißt gegeben allgemeine endlichdimensionale Vektorräume und, und eine lineare Abbildung, wie können wir vollständig beschreiben? Abbildungsmatrix bezüglich Basen | Mathelounge. Im Artikel Isomorphismus haben wir gesehen, dass jeder endlich dimensionale Vektorraum zu einem isomorph ist. Also gilt und. Dieser Isomorphismus funktionierte wie folgt: Wir wählen eine geordnete Basis von. Durch Darstellung jedes Vektors in bzgl. erhalten wir die Koordinatenabbildung. Diese ist ein gewählter Isomorphismus. Genauso erhalten wir obigen Isomorphismus nach Wahl einer geordneten Basis von durch die Koordinatenabbildung.
Umgekehrt können aber auch verschiedene Abbildungen die gleiche Abbildungsmatrix haben, wenn man sie zu verschiedenen Basen darstellt:
Beispiel (Anschauliches Beispiel mit anderer Abbildung und gleicher Matrix)
TODO Beispiel für Abbildug
mit der Standardbasis ergänzen. Wir können noch ein komplizierteres Beispiel anschauen:
Beispiel (Polynome verschiedenen Grades)
Seien, der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 3 mit Koeffizienten aus und der Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens 2 mit Koeffizienten aus. Sei definiert als die Ableitung eines Polynoms, d. für alle sei. Bei betrachtung der Basen: und. Lineare Abbildungen - Darstellungsmatrizen - YouTube. Somit erhält man für Abbildungsmatrix von bezüglich der Basen und:
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