Kapitel 7 - Boolesche Algebra
Die Boolesche Algebra findet ihren praktischsten Nutzen bei der Vereinfachung logischer Schaltungen. Wenn wir die Funktion einer Logikschaltung in eine symbolische (boolesche) Form übersetzen und bestimmte algebraische Regeln auf die resultierende Gleichung anwenden, um die Anzahl von Termen und / oder arithmetischen Operationen zu reduzieren, kann die vereinfachte Gleichung für eine durchzuführende Logikschaltung in eine Schaltungsform zurückübersetzt werden die gleiche Funktion mit weniger Komponenten. Wenn eine äquivalente Funktion mit weniger Komponenten erreicht werden kann, wird das Ergebnis eine erhöhte Zuverlässigkeit und verringerte Herstellungskosten sein. Boolesche algebra vereinfachen rechner translation. Zu diesem Zweck gibt es einige Regeln der Booleschen Algebra, die in diesem Abschnitt vorgestellt werden, um Ausdrücke auf ihre einfachsten Formen zu reduzieren. Die bereits in diesem Kapitel besprochenen Identitäten und Eigenschaften sind sehr nützlich für die Boolesche Vereinfachung und tragen größtenteils die Ähnlichkeit mit vielen Identitäten und Eigenschaften der "normalen" Algebra.
Boolesche Algebra Vereinfachen Rechner E
Mengenalgebra
Die Potenzmenge P ( S) \Pow (S) einer Menge S S wird mit Durchschnitt und Vereinigung zu einer booleschen Algebra. Dabei ist 0 die leere Menge und 1=S und die Negation das Komplement; der Sonderfall S=0 ergibt die einelementige Potenzmenge mit 1=0. Auch jeder S S enthaltende, bezüglich Vereinigung und Komplement abgeschlossene Teilbereich der Potenzmenge von S S ist eine boolesche Algebra, die als Teilmengenverband oder Mengenalgebra bezeichnet wird. Der Darstellungssatz von Stone besagt, dass jede boolesche Algebra isomorph (s. u. Boolesche algebra vereinfachen rechner 8. ) zu einer Mengenalgebra ist. Daraus folgt, dass die Mächtigkeit jeder endlichen booleschen Algebra eine Zweierpotenz ist. Andere Beispiele
Für jede natürliche Zahl n n ist die Menge aller positiven Teiler von n n mit den Verknüpfungen ggT und kgV ein distributiver beschränkter Verband. Dabei ist 1 das Nullelement und n n das Einselement. Der Verband ist boolesch genau dann, wenn n n quadratfrei ist. Dieser Verband heißt Teilerverband von n n. A = { e ∈ R ∣ e 2 = e u n d e x = x e ∀ x ∈ R} A=\{e\in R\mid e^2=e\ \mathrm{und}\ ex=xe \, \forall x\in R\}
aller idempotenten Elemente des Zentrums.
Boolesche Algebra Vereinfachen Rechner Translation
Gateway to Logic
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Leere Eingabe. Bitte wenden Sie sich bei Unklarheiten an. © Christian
Gottschall /
/ 2018-09-06
Boolesche Algebra Vereinfachen Rechner 8
Mit den Verknüpfungen
e ∨ f = e + f − e f, e ∧ f = e f e\lor f = e + f - ef, \quad e \land f = ef
wird A A zu einer booleschen Algebra. Ist H H ein Hilbertraum und P(H) die Menge der Orthogonalprojektionen auf H H. Definiert man für zwei Orthogonalprojektionen P P und Q P ∨ Q = P + Q − n P Q, P ∧ Q = P Q Q P\lor Q = P + Q - nPQ, \quad P \land Q = PQ, wobei n n gleich 1 oder 2 sein soll. In beiden Fällen wird P(H) zu einer booleschen Algebra. Boolesche Algebra vereinfachen mit DNF/KNF. Der Fall n=2 ist in der Spektraltheorie von Bedeutung. Homomorphismen
Ein Homomorphismus zwischen booleschen Algebren A, B A, B ist ein Verbandshomomorphismus f : A → B f\colon A\to B, der 0 auf 0 und 1 auf 1 abbildet, d. h. für alle x, y ∈ A x, y\in A gilt:
f ( x ∧ y) = f ( x) ∧ f ( y) f(x\land y)=f(x)\land f(y)
f ( x ∨ y) = f ( x) ∨ f ( y) f(x\lor y)=f(x)\lor f(y)
f ( 0) = 0, f ( 1) = 1 f(0)=0, \quad f(1)=1
Es folgt daraus, dass f ( ¬ a) = ¬ f ( a) f(\neg a)=\neg f(a) für alle a a aus A A. Die Klasse aller booleschen Algebren wird mit diesem Homomorphismenbegriff eine Kategorie.
Ist ein Homomorphismus f f zusätzlich bijektiv, dann heißt f f Isomorphismus, und A A und B B heißen isomorph. Boolesche Ringe
Als boolesche Ringe gelten seit Stone alle Ringe mit Einselement, die zusätzlich idempotent sind, also das Idempotenzgesetz a ⋅ a = a a\cdot a = a erfüllen. Jeder idempotente Ring ist kommutativ. Die Addition im booleschen Ring entspricht bei der mengentheoretischen Interpretation der symmetrischen Differenz und bei aussagenlogischer Interpretation der Alternative ENTWEDER-ODER (exclusiv-ODER, XOR); die Multiplikation entspricht der Durchschnittsbildung beziehungsweise der Konjunktion UND. Schaltalgebra / Rechenregeln der Digitaltechnik. Boolesche Ringe sind stets selbstinvers, denn es gilt a + a = 0 \, a+a=0 und − a = a \, -a=a, so dass die Inversen-Operation definierbar ist. Wegen dieser Eigenschaft besitzen sie auch, falls 1 und 0 verschieden sind, stets die Charakteristik 2. Der kleinste solche boolesche Ring ist zugleich ein Körper mit folgenden Verknüpfungstafeln:
⋅ \cdot
+ +
Der Potenzreihen-Ring modulo x ⋅ x + x \, x\cdot x+x über diesem Körper ist ebenfalls ein boolescher Ring, denn x ⋅ x + x \, x\cdot x+x wird mit 0 \, 0 identifiziert und liefert die Idempotenz.
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