Reelle Fourierreihe - Konvergenz im quadratischen Mittel
Es gilt erfreulicherweise folgender Satz:
Theorem Die Fourierreihe jeder
2
τ
-periodischen, über das Intervall
[
-
τ,
+
τ]
integrierbaren Funktion
f
von
ℝ
nach
konvergiert im quadratischen Mittel gegen
f.
Der am Beweis interessierte Leser sei auf eine Extraseite - wo
allerdings nur ein etwas schwächeres Resultat, die so genannte Bessel´sche
Ungleichung, bewiesen wird - und auf die Literaturseite verwiesen. Bilden wir also gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Berechnung der Koeffizienten) die
Fourierkoeffizienten
a
0,
1,
2,
3,
…,
b
…
und dann für jedes
N
∈
ℕ
gemäß Gleichung (Reelle Fourierreihe - Einführung) die Funktion
N, so geht die Größe (Reelle Fourierreihe - Konvergenzbegriffe bei Funktionenfolgen), anschaulich
die "mittlere quadratische Abweichung" zwischen
und
f, für unendlich werdendes
gegen 0. Dies läst sich durch ein Resultat ergänzen, das deshalb interessant ist,
weil es etwas über die Approximation von
durch
bei endlichem
aussagt.
Konvergenz Im Quadratischen Mittelfranken
Zur gleichmäßigen Konvergenz. Diesem Begriff nähern wir uns am besten, indem wir uns
vor Augen führen, was genau punktweise Konvergenz schlechthin von
bedeutet, nämlich: für jedes
gibt es zu jedem reellen
ε
ein
t,
ε)
ℕ, so dass
|
-
<
für alle
≥
ε). Wie schon durch die Notation angedeutet, hängt
i. Allg. sowohl von
als auch von
ab. Gibt es für jedes
ein für alle
gemeinsames
ε), liegt gleichmäßige Konvergenz vor; präziser lautet die Definition:
Gleichmäßige Konvergenz
heißt gleichmäßig konvergent gegen
f, wenn es zu jedem reellen
ℕ
gibt, so dass
und alle
ℝ. Anschaulich liegt der Unterschied zur (nur) punktweisen Konvergenz darin, dass
im Fall gleichmäßiger Konvergenz "überall (d. h. für alle
ℝ) gleich schnell" gegen
strebt (dem mit der Materie weniger vertrauten Leser wird empfohlen, sich den
Unterschied noch weiter klarzumachen). Zur Konvergenz im quadratischen Mittel. Dazu setzen wir voraus, dass
und alle Funktionen
über das Intervall von
bis
+
integrierbar sind. Konvergenz im quadratischen Mittel Wir sagen,
konvergiert im quadratischen Mittel gegen
f, wenn
∫
d
(für
∞) gegen 0 geht.
Konvergenz Im Quadratischen Mittel Corona
Die neue Generation von Computern Erste Prototypen von Quantencomputern gibt es bereits. Was wird sich mit den Prozessoren ändern, die auf Quantenmechanik basieren? Sind Daten dann noch sicher? Eine Themenseite
Quantenphysik Die Quantenphysik ist neben der Relativitätstheorie eine der Säulen der modernen Physik - mit Auswirkungen bis in die Philosophie.
Konvergenz Im Quadratischen Mittelklasse Hotels
Wir benötigen zunächst den Begriff des trigonometrischen Polynoms. Sei
eine natürliche Zahl größer als 0 und
g
eine reellwertige Funktion der reellen Variablen
t.
heißt trigonometrisches Polynom vom Grad
N, wenn sich
als
(
t)
=
1
α
0
∑
n
cos
π
t
β
sin
mit reellen Konstanten
N,
schreiben lässt. Nun fragen wir: wie müssen bei festgehaltenem
diese Konstanten gewählt werden, damit die mittlere quadratische Abweichung
zwischen
f,
∫
d
möglichst klein wird,
also in diesem Sinne
am besten approximiert? - Die Antwort ist
N, man erhält also die beste Approximation, wenn man die Konstanten gleich den
(entsprechenden) Fourierkoeffizienten setzt. - Präziser:
Theorem Für jedes feste
besteht für alle trigonometrischen Polynome
vom Grad
die Beziehung
≥
mit Gleichheit genau dann, wenn
N. Für Beweise siehe nochmals die Literaturseite.
Konvergenz Im Quadratischen Mittel English
Im oberen Bild gilt 〈 f, g 〉 = 0, da der signierte Flächeninhalt aus Symmetriegründen gleich 0 ist. Im unteren Bild überwiegen die negativen Flächen, sodass hier 〈 f, g 〉 < 0. Lesen wir das Integral als unendlich feine Summe, so besitzt das Skalarprodukt die vertraute Form "Summe von Produkten" der kanonischen Skalarprodukte im ℝ n bzw. ℂ n. In der Tat gelten bis auf eine Ausnahme alle aus der Linearen Algebra bekannten Eigenschaften eines Skalarprodukts für ℂ -Vektorräume: Satz (Eigenschaften des Skalarprodukts auf V) Für alle f, g, h ∈ V und alle α ∈ ℂ gilt: (a) 〈 f + g, h 〉 = 〈 f, h 〉 + 〈 g, h 〉, 〈 f, g + h 〉 = 〈 f, g 〉 + 〈 f, h 〉, (b) 〈 α f, g 〉 = α 〈 f, g 〉, 〈 f, α g 〉 = α 〈 f, g 〉, (c) 〈 f, g 〉 = 〈 g, f 〉, (d) 〈 f, f 〉 ∈ ℝ und 〈 f, f 〉 ≥ 0, (e) Ist f stetig und f ≠ 0, so ist 〈 f, f 〉 > 0. Zu einem waschechten Skalarprodukt fehlt nur die Gültigkeit der letzten Eigenschaft für alle Elemente aus V. Trotzdem ist es üblich, 〈 f, g 〉 als Skalarprodukt zu bezeichnen. In der Sprache der Linearen Algebra liegt lediglich eine positiv semidefinite Hermitesche Form auf V vor.
Ein weiteres Beispiel für ein quadratisch konvergentes Verfahren ist der erweiterte Remez-Algorithmus mit Simultanaustausch zur Berechnung bester polynomialer Approximationen. Copyright Springer Verlag GmbH Deutschland 2017