Typ: mit einer Polynomfunktion [ Bearbeiten]
Die partielle Integration ist bei Funktionen nützlich, die sich als Produkt einer Polynomfunktion und einer integrierbaren Funktion schreiben lassen. Das hat den Hintergrund, dass der Grad der Polynomfunktion mit jeder Ableitung um einen Grad reduziert wird. Die integrierbare Funktion wird dabei als und die Polynomfunktion als gewählt. Dabei sollte jedoch die Stammfunktion nicht "komplizierter" als sein. Als Beispiel betrachten wir das unbestimmte Integral. Setzen wir bei jedem partiellen Integrationsschritt und den übrigen (Polynom-)Term unter dem Integral, so ergibt sich:
Hier mussten wir mehrfach partiell integrieren, um die gewünschte Stammfunktion zu erhalten. Da die trigonometrischen Funktionen und sich analog zu der Exponentialfunktion ebenfalls leicht integrieren lassen, bietet sich obige Methode auch für diese Funktionen als an. Manchmal hilft es, die zu integrierende Funktion mit dem Faktor zu multiplizieren. Dadurch erhält der Integrand die gewünschte Form mit und gleich der ursprünglichen Funktion.
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Das, was dann rauskommt, ist euer Ergebnis des Integrals von oben. Hier zwei Tipps für die partielle Integration:
Wenn ein Faktor x ist, ist dieser immer g(x). Das ist der Teil, der dann abgeleitet wird. Das x fällt nämlich beim Ableiten weg (wird 1, siehe Beispiel 1). Wenn Cos, Sin oder e x vorkommt, sind diese (meist) f´(x), da diese leicht zu integrieren sind. Sollte nach dem partiellen Integrieren das hinten dran entstandene Integral nicht einfach zu berechnen sein, müsst ihr manchmal die partielle Integration für dieses Integral noch einmal
durchführen. Jetzt soll dieses Integral partiell integriert werden.
Partielle Integration Aufgaben E
Die partielle Integration (oder auch Produktintegration) ist der Produktregel beim Ableiten ähnlich, es ist sozusagen die Umkehrung
dieser. Sie ist ein Hilfsmittel, um Funktionen integrieren zu können, wenn die Funktion selbst aus zwei Funktionen (z. B. sin(x) und x) besteht, welche multipliziert werden:
f´(x) wird aufgeleitet und zu f(x)
g(x) wird abgeleitet und zu g´(x)
Das Vorgehen bei der partiellen Integration ist Folgendes:
Die Funktion muss aus zwei Faktoren bestehen, ihr betrachtet beide dann als "einzelne Funktionen" (f´(x) und g(x)). Die partielle Integration ist nur sinnvoll, wenn eines der beiden Produkte leicht aufzuleiten ist und das andere beim Ableiten vereinfacht wird (z. x, denn wenn man x ableitet, wird es 1). Dabei ist das leicht aufzuleitende f´(x) …
… und das, was sich beim Ableiten vereinfacht, g(x). Leitet das, was leicht zu integrieren ist, auf und das Andere ab. Setzt das, alles wie oben in der Formel ein und berechnet das letzte Integral, dann seid ihr fertig.
Gemäß LIATE entscheiden wir uns für:
Nun müssen wir die Ableitung von f ( x) und die Stammfunktion von g ( x) finden:
Nach der Formel für partielle Integration schreiben wir nun:
Beachte! Auch wenn wir uns bei f ( x) und g '( x) anders entschieden hätten, wäre das Ergebnis das selbe gewesen. Es wäre nur viel komplizierter gewesen. Damit würden wir entsprechend der partiellen Integration schreiben:
Wie man sehen kann, haben wir den Term verkompliziert. Statt nur x haben wir jetzt x ². Das neue Integral ist keinesfalls einfacher als das ursprüngliche und kann wieder nur mit partieller Integration gelöst werden. Gehen wir davon aus, dass wir das Integral lösen konnten. Dann hätten wir statt dem relativ überschaubaren Term in Schritt 3 folgendes gehabt:
Wie man sieht, sind beide Integrale tatsächlich identisch -- zumindest nach dem sie zeitaufwändig vereinfacht wurden. Die Wahl von f ( x) und g '( x) ist also entscheidend! Als erstes müssen wir festlegen, welcher der beiden Faktoren f ( x) und welcher g ( x) sein soll.