Die Quotientenregel ist die aufwendigste der Ableitungsregeln. Doch nicht jede Funktion, die als Bruch gegeben ist, muss mithilfe der Quotientenregel abgeleitet werden. Gelegentlich kann man durch Umformen erreichen, dass man nur die Potenzregel, nur die Kettenregel oder manchmal die Produkt- und Kettenregel anwenden muss. Der letzte Fall ist allerdings eher bestimmten Ausnahmen vorbehalten. Brüche mit der Potenzregel ableiten
Ein Bruch kann allein mit der Potenzregel abgeleitet werden, wenn im Nenner nur eine Potenz von $x$ steht, die noch mit einem Faktor multipliziert werden darf. Ableiten x im Nenner S. - Matheklapper und Mathefilme. Steht im Nenner eine Summe, geht dies nicht mehr. Beispiel 1: $f(x)=\dfrac{2}{x}-\dfrac{3}{4x^2}$
Die Terme werden umgeformt, indem man $x$ mit dem entsprechenden negativen Exponenten in den Zähler holt. Dabei wird grundsätzlich nur die Potenz nach oben geholt, nicht aber der zusätzliche Faktor. $f(x)=2x^{-1}-\frac 34 x^{-2}$
Nun kann nach der Potenzregel abgeleitet werden:
$f'(x)=2\cdot (-1)x^{-2}-\frac 34 \cdot (-2)x^{-3}=-2x^{-2}+\frac 32 x^{-3}$
Gelegentlich ist es sinnvoll, die Ableitungsfunktion wieder mit positiven Exponenten anzugeben:
$f'(x)=-\dfrac{2}{x^2}+\dfrac{3}{2x^3}$
Beispiel 2: $f(x)=\dfrac{4x^2+3x+6}{2x}$
Da nur im Zähler, nicht aber im Nenner eine Summe steht, kann man den Bruch in drei Brüche aufteilen und jeden Bruch für sich kürzen und wie oben umformen.
Ableitung X Im Nenner 10
12. 2015; © Ina de Brabandt
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$f(x)=\dfrac{4x^2}{2x}+\dfrac{3x}{2x}+\dfrac{6}{2x}=2x+\frac 32+3x^{-1}$
Jetzt kann man wieder die Potenzregel anwenden:
$f'(x) = 2 - 3x^{-2}$
Auch dieses Ergebnis kann wieder in der ursprünglichen Form als ein Bruch geschrieben werden, indem man die Potenz mit dem negativen Exponenten als Bruch schreibt und anschließend auf den Hauptnenner bringt. Ableitung x im nenner streaming. $f'(x)=2-\dfrac{3}{x^2}=\dfrac{2x^2-3}{x^2}$
Brüche mit der Kettenregel ableiten
Ein Bruch kann allein mit der Kettenregel abgeleitet werden, wenn im Zähler nur eine Konstante steht, also ein Term, der nicht von der Variablen abhängt. Beispiel 3: $f(x)=\dfrac{4}{(3-x)^2}$
Mehr oder weniger geschieht das gleiche wie oben: die Potenz im Nenner wird in den Zähler geholt, indem man das Vorzeichen des Exponenten umkehrt:
$f(x) = 4\cdot (3 - x)^{-2}$
Da die 4 ein konstanter Faktor ist, reicht allein die Kettenregel – genau genommen in Kombination mit der Faktorregel – aus, um diese Funktion abzuleiten. Die innere Ableitung ist $-1$. $ f'(x) = 4\cdot (-2)\cdot (3 - x)^{-3}\cdot (-1) = 8(3 - x)^{-3}$
Auch die zweite Ableitung kann also wieder allein mit der Kettenregel erfolgen.
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