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Zur Suche springen Unter Entwicklungssatz versteht man in der Mathematik folgende Sätze oder Rechenregeln:
Entwicklungssatz der Quantenmechanik (Spektralsatz)
Entwicklungssatz von Shannon, Satz über Boolesche Funktionen
Laplacescher Entwicklungssatz, Rechenregel zur Berechnung von Determinanten
Graßmannscher Entwicklungssatz, Rechenregel für das Kreuzprodukt
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Kategorie: Begriffsklärung
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Entwicklungssatz Von Laplace Pdf
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Ich hätte da 2-3 Fragen zu dem oben gelösten Beispiel. Und zwar in der ersten Determinante sind ja a21-a54 (0, 0, 0, 3, 0) aber welche Zahlen sind c21-c53? Da blicke ich irgendwie nicht ganz durch, denn sie haben da die gleiche nummerierung aber es sind doch andere Zahlen? Und was ich noch nicht ganz verstehe sind die Potenzen beim (-1) vor der Determinante. Woher kommen diese? Ich dachte anfangs das sind Spalten/Zeilen der Determinante die danach steht was für c44 auch stimmt, aber unten steht dann 2*(-1)^{2+2} und (-3)*(-1)^{2+4} obwohl die matrix dahinter eine andere Spalten/Zeilen Anzahl hat. Gefragt
14 Feb 2015
von
2 Antworten
Hi, der Entwicklungssatz besagt ja, wenn Du nach einer Spalte der Matrix entwickelst, dass Du Spaltenelemente, z. Entwicklungssatz von laplace pdf. B. \( a_{14} \) mit der verbleibenden Determinate multiplizieren musst, die entsteht, wenn man aus der ursprünglichen Matrix die 1-Zeile und die 4-Spalte streicht, multipliziert mit \( (-1)^{1+4} \) und das für jedes Spaltenelement und zum Schluss alles aufsummierst.
Entwicklungssatz Von Laplace In Matlab
So geht ihr vor, bis ihr alle Spalten durch habt. Dann könnt ihr die Determinanten mit der Kreuzregel berechnen. (Oben
links mal unten rechts - oben rechts mal unten links)
Hier wurde zunächst die erste Spalte durchgestrichen. Entwicklungssatz von laplace in matlab. Dann wurden nacheinander, wie oben beschrieben, die Zeilen durchgestrichen
Die so neu entstandenen Matrizen werden immer mal die Zahl genommen, die in der durchgestrichenen Zeile und Spalte liegen. Vergesst nicht, dass die Zahl unter der ganz oben links, immer - genommen wird. Hier spielt es allerdings keine Rolle, da es eine 0 ist. Berechnet so die kleineren Matrizen und ihr erhaltet dann die Determinante.
Entwicklungssatz Von Laplace Deutsch
Das Gleiche gilt für $|A_{24}|$ und $|A_{44}|$. Für $|A_{34}|$ allerdings ist das Element $a_{34} = 1$. Demnach wird der Term $(-1)^{3 + 4} \cdot a_{34} \cdot det(A_{34}) \neq 0$, weshalb wir die Streichungsdeterminante $det(A_{34})$ bestimmen müssen. 2. Entwicklungssatz von laplace deutsch. Spalte und 3. Zeile: $|A_{34}| = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \not0 \\ 2 & 1 & 3 & \not0\\ \not1 & \not1 & \not3 & \not1 \\ 2 & 3 & 1 & \not0 \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$ 3. Schritt: Anwendung der Regel von Sarrus: Regel von Sarrus $det(A_{34}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 \cdot 3 + 2 \cdot 2 \cdot 3 - 3 \cdot 1 \cdot 2 - 3 \cdot 3 \cdot 1 - 1 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ 4. Schritt: Einsetzen in die Formel: $det(A) = (-1)^{3 + 4} \cdot a_{34} \cdot det (A_{34}) = (-1)^{3 + 4} \cdot 1 \cdot 12 = -12$ Die Determinante von $A$ beträgt demnach $-12$. Regeln für Elementare Umformungen Für größere Matrizen empfiehlt sich die Matrix in eine einfachere Form zu bringen. Allerdings haben elementare Umformungen von Matrizen Auswirkungen auf die Determinante.
Entwicklungssatz Von Laplace Youtube
Determinante 2. Ordnung bzw. Determinante einer 2x2 Matrix
Die Determinante 2. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 2x2 Matrizen bilden kann. Merkregel: "links oben mal rechts unten minus rechts oben mal links unten"
\(\begin{array}{l} {A_2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = \\ = {a_{11}}. {a_{21}} \end{array}\)
Determinante 3. Determinante einer 3x3 Matrix - Regel von Sarrus
Die Determinante 3. Der Laplace'sche Entwicklungssatz | Aufgabensammlung mit Lösungen & Th. Ordnung ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen 3x3 Matrizen bilden kann. Um den Zahlenwert der Determinante zu berechnen, bedient man sich der Regel von Sarrus
Man schreibt die 1. und die 2. Spalte rechts neben der Determinante nochmals an
Man bildet die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Hauptdiagonalen (links oben nach rechts unten)
Davon subtrahiert man die 3 Summen der Produkte entlang der 3 Nebendiagonalen(rechts oben nach links unten)
Die Regel von Sarrus kann man nicht für Determinanten vom Grad >3 anwenden.
Satz (Spalten- und Zeilenentwicklung) Seien K ein Körper und n ≥ 2. Für alle A ∈ K n × n und 1 ≤ i, j ≤ n sei A ij ′ ∈ K (n − 1) × (n − 1) die Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte entsteht. Dann gilt für alle Matrizen A ∈ K n × n und alle Spaltenindizes 1 ≤ j ≤ n det A = ∑ 1 ≤ i ≤ n (−1) i + j a ij det A ij ′. Laplace-Entwicklungssatz | Mathebibel. (Entwicklung nach der j-ten Spalte) Analog gilt für alle Zeilenindizes 1 ≤ i ≤ n det A = ∑ 1 ≤ j ≤ n (−1) i + j a ij det A ij ′. (Entwicklung nach der i-ten Zeile) Der Entwicklungssatz stellt eine weitere Möglichkeit der Berechnung von Determinanten dar. Besonders geeignet ist er für Matrizen, die eine Zeile oder Spalte mit vielen Nulleinträgen besitzen. Beweis des Entwicklungssatzes Wesentliches Hilfsmittel sind die n × n-Matrizen A ij = a 11 … 0 … a 1 n … … … … … 0 … 1 … 0 … … … … … a n 1 … 0 … a nn ∈ K n × n, bei denen die i-te Zeile von A mit e j und die j-te Spalte von A mit e i überschrieben ist. Die Determinanten der Matrizen A ij und A ij ′ stimmen bis auf ein von der Stelle (i, j) abhängiges Vorzeichen überein: Es gilt det A ij = det a 1 … e i … a n = (−1) i − 1 + j − 1 det 1 0 0 A ij ′ = (−1) i + j det A ij ′, wobei wir im zweiten Schritt eine (i − 1) -malige Zeilen- und eine (j − 1) -malige Spaltenvertauschung durchführen.
Determinante
Die Determinante det A ist ein Zahlenwert (ein Skalar), den man von quadratischen Matrizen (n, n) bilden kann. Für nicht-quadratische Matrizen sind Determinanten nicht definiert. \(\det A = \left| A \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_{11}}}&{{a_{12}}}\\ {{a_{21}}}&{{a_{22}}} \end{array}} \right| = {a_{11}}. {a_{22}} - {a_{12}}. {a_{21}}\)
Eine Determinante hat den Wert Null, wenn
eine Zeile bzw. eine Spalte ausschließlich aus Nullen besteht
zwei Zeilen bzw. zwei Spalten eine Linearkombination anderer Zeilen oder Spalten sind, bzw. im einfachsten Fall ident sind
Vertauscht man 2 benachbarte Zeilen oder Spalten einer Determinante, so ändert sich das Vorzeichen vom Wert der Determinante
Eine Matrix A und die zugehörige transponierte Matrix A T haben dieselbe Determinante \(\det A = \det {A^T}\)
Die Cramer'sche Regel (Determinantenmethode) ist ein Verfahren um Systeme von n-linearen Gleichungen mit n Variablen zu lösen. Mit ihrer Hilfe kann man auch feststellen, ob ein lineares Gleichungssystem überhaupt eindeutig lösbar ist, was nicht zwangsweise der Fall sein muss.