Auf dieser Seite geht es darum, wie sich eine gegebene Normalengleichung einer Ebene in eine vektorielle Parametergleichung dieser Ebene umwandeln lässt. Dazu sei die folgende Ebene E in Normalenform gegeben:
Eine Parametergleichung dieser Ebene lässt sich auf zwei verschieden Weisen herstellen. Für beide Varianten benötigt man zunächst die Koordinatenform der Ebene. Parametergleichung, Normalengleichung und Koordinatengleichung | Mathelounge. Dazu bringen wir die gegebene Normalengleichung in die folgende Form
und schreiben Vektor → x komponentenweise mit x, y, z
Ausrechnen des Skalarproduktes auf beiden Seiten liefert die Koordinatenform
2x + 3y + 4z = 19
Aus dieser Darstellung können wir nun problemlos eine Parametergleichung der Ebene gewinnen.
Parametergleichung, Normalengleichung Und Koordinatengleichung | Mathelounge
Beschreiben wir den Normalenvektor durch die drei Koordinaten x, y, z führt das auf diese beiden Gleichungen
Rechnen wir die Skalarprodukte aus und schreiben die Gleichungen untereinander, so ergibt das ein Gleichungssystem aus zwei Gleichungen mit drei Unbekannten
Die erste Gleichung ergibt notwendig y = 0. Die zweite Gleichung hat mehr als eine Lösung. Da wir nur eine benötigen, können wir einen der beiden Parameter – entweder x oder z frei wählen. Ebene: Parametergleichung in Normalenform. Wählen wir z. B. z = 5 so ist zwangsläufig x = 3. Damit ist also
ein möglicher Normalenvektor (eine Probe würde schnell bestätigen, dass die entsprechenden Skalarprodukte mit den beiden Richtungsvektoren aus der Parametergleichung jeweils Null ergeben). Tipp: Man kann natürlich auch einen Normalenvektor von Hand oder mit einem Taschenrechner berechnen, indem man das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) → u x → v der beiden Richtungsvektoren bildet. Insgesamt erhaltet wir somit die folgende Normalenform für die vorliegende Ebene
Man mache sich klar, dass es unendlich viele äquivalente Normalengleichungen für ein und dieselbe Ebene gibt – man braucht ja dafür bloß einen Punkt aus der Ebene (wovon es unendlich viele gibt) und einen zur Ebene senkrechten Vektor (auch davon gibt es unendlich viele)!
Ebene Von Normalform In Parameterform Umwandeln - Lernen Mit Serlo!
Diese stellen wir im Anschluss um:
Auf beiden Seiten der Gleichung müssen wir jetzt das Skalarprodukt berechnen. Dazu multiplizieren wir Zeile für Zeile und setzen ein Plus jeweils dazwischen. Wer dazu noch mehr sehen möchte wirft einen Blick in Skalarprodukt berechnen. Die Gleichung vereinfachen wir noch und stellen diese nach -21 um. Anzeige: Normalenform in Parameterform Teil 2
Die Gleichung liegt jetzt in Koordinatenform vor und wird weiter umgewandelt in eine Parameterform. Schritt 2: Koordinatenform in Parameterform
Wir nehmen die Koordinatenform aus der letzten Rechnung und stellen die Gleichung nach x 3 um. Im Anschluss setzen wir x 1 = r und x 2 = s. Ebene von Normalform in Parameterform umwandeln - lernen mit Serlo!. Dieses ersetzen machen wir auch in unserer Gleichung die nach x 3 aufgelöst wurde. Die Gleichungen mit x 1 = r und x 2 = s schreiben wir ausführlicher hin mit Zahl, r und s. Wir ergänzen im Prinzip 0er-Angaben. In dieser Form können wir direkt die Ebenengleichung in Parameterform ablesen und aufschreiben. Aufgaben / Übungen Ebenen umwandeln Anzeigen:
Video Ebene umwandeln
Erklärung und Beispiel
Wir haben noch kein Video zum Thema Normalenform in Parameterform, sondern nur zu einem ähnlichen Fall.
Habt ihr die Parameterform einer Ebene gegeben und möchtet die Normalenform haben, geht ihr so vor:
Normalenvektor berechnen, durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren
Aufpunkt auswählen, dazu könnt ihr einfach den von der Parameterform nehmen, dies ist einfach irgendein Punkt, der auf der Ebene liegt
dann nur noch den Normalenvektor und Aufpunkt in die Normalenform einsetzen
Gegebensei die Ebene in Parameterform:
1. Berechnet den Normalenvektor durch das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren:
2. Nehmt einfach denselben Aufpunkt wie bei der Parameterform so müsst ihr hier nichts machen. 3. Setzt alles in die Formel der Normalenform ein:
Umwandlung Von Normalenform In Koordinatenform - Matheretter
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Folglich gilt: $$ {\color{red}4}x_1 + {\color{red}3}x_2 - 5 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{n} = \begin{pmatrix} {\color{red}4} \\ {\color{red}3} \end{pmatrix} $$ Beliebigen Aufpunkt $\vec{a}$ berechnen Als Aufpunkt können wir jeden beliebigen Punkt auf der Gerade verwenden. Punkte, die auf der Gerade liegen, haben die Eigenschaft,
dass sie die Koordinatengleichung $4x_1 + 3x_2 - 5 = 0$ erfüllen. Wenn wir z. B. für $x_2$ gleich $1$ einsetzen $$ 4x_1 + 3 \cdot 1 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 + 3 - 5 = 0 $$ $$ 4x_1 - 2 = 0 $$ und die Gleichung anschließend nach $x_1$ auflösen, erhalten wir $$ 4x_1 - 2 = 0 \quad |+2 $$ $$ 4x_1 = 2 \quad |:4 $$ $$ x_1 = 0{, }5 $$ Der Punkt $(0{, }5|1)$ liegt folglich auf der Gerade. Diesen können wir als Aufpunkt hernehmen: $$ \vec{a} = \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix} $$ $\vec{n}$ und $\vec{a}$ in die Normalenform einsetzen $$ g\colon\; \vec{n} \circ \left[\vec{x} - \vec{a}\right] = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \circ \left[\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0{, }5 \\ 1 \end{pmatrix}\right] = 0 $$
Von der Parametergleichung zur Normalengleichung: In diesem Beitrag wird an einem Beispiel gezeigt, wie sich eine Ebene in Parametergleichung / Punktrichtungsform in eine Normalengleichung / Normalenform umwandeln lässt. Die Aufgabe besteht also darin, eine Parametergleichung
einer Ebene in eine Normalengleichung
umzuwandeln. Den Stützvektor → a aus der gegeben Parametergleichung können wir direkt in die Normalengleichung übernehmen. Der Normalenvektor → n 0 muss senkrecht zur Ebene, also senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren → u und → v aus der Parametergleichung stehen. Betrachten wir als Beispiel die folgende Parametergleichung
In einem ersten Schritt übertragen wir den Stützvektor, der ja für einen Punkt aus der Ebene steht, in die Normalengleichung und gelangen damit zunächst zur folgenden Darstellung
Das der Normalenvektor → n 0 senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren verläuft, bedeutet natürlich, dass das Skalarprodukt von → n 0 mit den beiden Richtungsvektoren jeweils Null ergibt.