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Nachdem du alles fleißig durchgelesen hast, solltest du nun wissen, wie du die partielle Integration berechnen kannst:) Merk dir LIATE und die Formel für die partielle Integration! Weiter so!
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Partielle Integration (6:25 Minuten)
Einige Videos sind leider bis auf weiteres nicht verfügbar. Partielle Integration | Aufgabensammlung mit Lösungen & Theorie. Einleitung
Die partielle Integration ist eine wichtige Methode in der Integralrechnung, um Stammfunktionen und Integrale zu berechnen. Für die partielle Integration verwendet man die folgende Regeln:
Unbestimmtes Integral
$$ \int f\, '(x)\cdot g(x)~\mathrm{d}x = f(x) \cdot g(x) - \int f(x)\cdot g\, '(x)~\mathrm{d}x $$
Bestimmtes Integral
$$ \int_a^b f\, '(x)\cdot g(x)~\mathrm{d}x = [f(x) \cdot g(x)]_{a}^{b} - \int_a^b f(x)\cdot g\, '(x)~\mathrm{d}x $$
Die Produktregel aus der Differentialrechnung ist die Grundlage der partiellen Integration. Beispiel 1
$$ \int x \cdot \ln(x) ~ \mathrm{d}x $$
\( f\, ' \) und \( g \) festlegen
$$ f\, '(x) = x \qquad g(x) = \ln(x) $$
Integrieren und Ableiten
$$ f(x) = \dfrac{1}{2} x^2 \qquad g\, '(x) = \dfrac{1}{x} $$
Einsetzen
$$
\int x\cdot\ln(x) \, \mathrm{d}x
= \frac12 {x^2}\cdot\ln(x) - \int\frac12 {x^2} \cdot\frac1{x} \, \mathrm{d}x
= \frac12{x^2}\cdot\ln(x) - \frac14 {x^2} + c
Beispiel 2
$$ \int e^x \cdot (3-x^2) ~ \mathrm{d}x $$
Bei dieser Funktion bietet es sich an \( g(x) = 3-x^2 \) zu wählen, da sich dieses nach Ableitung vereinfacht.
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Die partielle Integration (oder auch Produktintegration) ist der Produktregel beim Ableiten ähnlich, es ist sozusagen die Umkehrung
dieser. Sie ist ein Hilfsmittel, um Funktionen integrieren zu können, wenn die Funktion selbst aus zwei Funktionen (z. B. sin(x) und x) besteht, welche multipliziert werden:
f´(x) wird aufgeleitet und zu f(x)
g(x) wird abgeleitet und zu g´(x)
Das Vorgehen bei der partiellen Integration ist Folgendes:
Die Funktion muss aus zwei Faktoren bestehen, ihr betrachtet beide dann als "einzelne Funktionen" (f´(x) und g(x)). Die partielle Integration ist nur sinnvoll, wenn eines der beiden Produkte leicht aufzuleiten ist und das andere beim Ableiten vereinfacht wird (z. x, denn wenn man x ableitet, wird es 1). Dabei ist das leicht aufzuleitende f´(x) …
… und das, was sich beim Ableiten vereinfacht, g(x). Partielle Integration - Alle Aufgabentypen - YouTube. Leitet das, was leicht zu integrieren ist, auf und das Andere ab. Setzt das, alles wie oben in der Formel ein und berechnet das letzte Integral, dann seid ihr fertig.
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Da du bei der partiellen Integration f(x) ableitest und g(x) integrierst, solltest du dich für den Faktor entscheiden, der leichter abzuleiten bzw. zu integrieren ist. Häufig schreibst du die ursprüngliche Funktion dann so um, dass die neue Funktion einfacher zu integrieren ist. Die Wahl von f(x) und g'(x) bei der partiellen Integration Ausschlaggebend bei der partiellen Integration ist die Wahl von f(x) und g'(x). Wenn du dich falsch entscheidest, kann dies unter Umständen dazu führen, dass das Integral noch komplizierter wird. Falls dies passieren sollte, ist es sehr wahrscheinlich, dass du f(x) und g'(x) vertauschen solltest. Partielle integration aufgaben du. Es gibt dazu einfache und hilfreiche Faustregeln: L = logarithmische Funktionen (, …) I = inverse Winkelfunktionen (asin, acos, atan, asec, …) A = algebraische Funktionen (x², 5x³, …) T = trigonometrische Funktionen (sin, cos, tan, csc) E = Exponentialfunktionen (, ) Entsprechend des Rangs solltest du f(x) auswählen. Willst du zum Beispiel x²・cos(x) integrieren, so müsstest du x² für f(x) wählen und cos(x) für g'(x), denn algebraische Funktionen wie x² höher in der Liste stehen als trigonometrische Funktionen.
Dann, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind:
Wenn die zu integrierende Funktion aus zwei Faktoren besteht und beide für sich eine Funktion bilden (also beide Faktoren ein x enthalten). Wenn der eine Faktor leicht zu integrieren ist und der Andere beim Ableiten vereinfacht wird, z. x wird zu 1. Partielle integration aufgaben mit. Wenn durch mehrfaches partielles Integrieren der eine Teil beim Integrieren nie erschwert wird, was zum Beispiel beim Sinus, Cosinus und der e-Funktion der Fall ist und der andere Teil nach
mehrfachem Ableiten wegfällt (z. x 2, x 3, x 4 …)