\)
Wachstums- und Zerfallsprozesse
übliche Schreibweise:
f(x) → N(t)
c→N 0
a→e
Wenn man die Halbwertszeit kennt, kann man das Lambda wie folgt berechnen:
\({T_{0, 5}} = \dfrac{{\ln \left( {0, 5} \right)}}{\lambda} \to \lambda = \dfrac{{\ln \left( {0, 5} \right)}}{T}\)
Exponentielles Wachstum: l... Wachstumskonstante \(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {e^{\lambda t}}\)
Funktion f
f(x) = Wenn[0 < x < 5.
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Wachstums- Und Zerfallsprozesse Übungen
Wie ihr seht, gibt es anfangs einen Hipster. Dann sind es nach einer Stunde 2 Hipster, da der 1. Hipster einen weiteren zu einem Hipster gemacht hat, so sind es schon 2. Danach stecken beide eine
weitere Person an, also sind es schon 4. Das geht immer so weiter, da seht ihr, wie schnell es sich verbreitet. Nach nur 4 Stunden sind es bereits 16 Stück! Nun könnt ihr die Formel für die exponentielle Zunahme aufstellen. Ihr habt ja anfangs einen Hipster, also ist N 0 =1. Der Wachstumsfaktor ist 2, da sich die Anzahl pro Stunde ja
verdoppelt, jeder steckt einen weiteren an und er selbst bleibt ja auch ein Hipster. Also ist a=2. Nun habt ihr schon alles, die Formel ist dann:
N=1·2 t
Wenn ihr jetzt für t die Zeit einsetzt, von der ihr wissen möchtet, wie viele Hipster es da gibt, erhaltet ihr die Anzahl. Z. Wachstums- und zerfallsprozesse übungen. sind es nach einem Tag, also 24 Stunden schon 16, 8
Millionen!!! Übersicht:
Wachstumsfaktor a gesucht
Prozentangabe bekannt (berechnen der Wachstumsrate pro Stunde, wenn z. pro 3 Studen in Prozent gegeben ist)
Anzahl der Zunahme/Abnahme bekannt
Startwert N 0 gesucht
Zeit t gesucht
Halbwertszeit/Verdopplungszeit gesucht
Habt ihr das Wachstum oder den Zerfall in der Angabe bereits in Prozent gegeben, geht es relativ leicht.
Wachstums Und Zerfallsprozesse Aufgaben
G 0 = 46
Verdopplung pro Schritt
Berechnen des Wachstumsfaktors aus einer Angabe in Prozent
Aus einer Prozentangabe kannst du den Wachstumsfaktor b bestimmen:
Eine Zunahme
um
25% entspricht einem Wachstumsfaktor
Wächst eine Bakterienpopulation von anfangs 200 Bakterien stündlich um
25%, dann sind es nach einer Stunde 250 Bakterien. 200 · 1. Wachstums und zerfallsprozesse aufgaben pdf. 25 = 250
Eine Abnahme
20% entspricht einem Wachstumsfaktor
Eine Maschine mit einem Neuwert von
20000 € hat bei einem jährlichen Wertverlust von
20% nach einem Jahr einen Wert von
16000 €. 20000 · 0. 8 = 16000
So bedeutet a=1, 35 eine relative Zunahme um 35%. a=e: natürliche Exponentialfunktion, hat die Eulersche Zahl e als Basis und x als Exponent
sign x: Ein negativer Exponent, also \(f\left( x \right) = {a^{ - x}}\) kehrt das oben genannte Monotonieverhalten gegenüber \(f\left( x \right) = {a^x}\) um
\(f\left( x \right) = {a^x}{\text{ und g}}\left( x \right) = {\left( {\dfrac{1}{a}} \right)^x}\) sind achsensymmetrisch zur y-Achse
Exponentialfunktionen sind bijektive Funktionen, d. h. Wachstum und Zerfall - bettermarks. sie besitzen eine Umkehrfunktion. Die Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: \(f\left( x \right) = {a^x} \leftrightarrow {f^{ - 1}}\left( x \right) = {}^a\operatorname{logx} = lo{g_a}x\)
Die häufigste Exponentialfunktion ist jene, bei der die Basis a gleich der Eulerschen Zahl e (=2, 7182) ist, die sogenannte Natürliche Exponentialfunktion. Deren Umkehrfunktion ist die ln-Funktion.
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