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Aufgabe: Ein Unternehmen, das Kindergeburtstage organisiert, möchte in den Sommerferien 30 Kindergeburtstage so kostengünstig wie möglich anbieten. Bei der Organisation eines Kindergeburtstags entstehen Kapital- und Arbeitskosten. Eine Einheit Kapital (x) kostet 1 EUR, eine Einheit Arbeit (y) kostet 20 EUR. Unter Verwendung von x Einheiten Kapital und y Einheiten Arbeit kann das Unternehmen √x +y Kindergeburtstage organisieren. Lagrange funktion aufstellen episode. a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Lagrange-Verfahrens die optimalen Werte für x und y. Problem/Ansatz: Brauchte Hilfe bei der Nebenbedinung: Denke man so oder? 30-30x-600y
Gefragt
4 Mär 2019
von
3 Antworten
L(x, y, λ) = x+20y +λ(√x + y - 30) L x = 1 +λ/ (2√x) L y = 20 + λ L λ = √x + y - 30 L y = 0 ==> - 20 = λ damit in L x =0 gibt 1 - 20/ (2√x) = 0 <=> 1 =20/ (2√x) <=> 2√x =20 <=> √x =10 <=> x =100 mit der Nebenbeding. 10 + y = 30 y = 20
Beantwortet
mathef
251 k 🚀
Versteh nur Bahnhof........ Also die Funktion ist jetzt: L(x, y, λ)=1x+20y+λ(√x-y) dl/dx=1-1/2λ -1/2 dl/dy=20-λ dl/dλ=1/2x -1/2 -y Wie stell ich denn hiern LGS auf?
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Lagrange-Funktion Definition
Mit der Lagrange-Funktion können Optimierungsprobleme gelöst werden. I. d. R. wird etwas maximiert (z. B. Gewinn, Nutzen) oder minimiert (z. Kosten) unter Beachtung einer oder mehrerer Nebenbedingungen. Alternative Begriffe: Lagrange-Ansatz, Lagrange-Methode, Lagrange-Optimierung, Lagrange-Verfahren, Lagrangefunktion. Beispiel: Maximierung mit Lagrange-Funktion
Das Haushaltsoptimum soll mit dem Lagrange-Ansatz gefunden werden. Zur Erinnerung: Das Haushaltsoptimum beschreibt die Konsummengen von Gut 1 und Gut 2 (modellhaft werden nur 2 Güter betrachtet), die sich der Haushalt zu den gegebenen Preisen leisten kann (Budgetbeschränkung) und die den Nutzen des Haushalts optimieren. Die Nutzenfunktion war U (x 1, x 2) = 2 × x 1 × x 2 (mit x 1 für die Menge von Gut 1 und x 2 für die Menge von Gut 2). Die Budgetrestriktion war p 1 x 1 + p 2 x 2 = m, d. Lagrange funktion aufstellen in nyc. h. : 1 x 1 + 2 x 2 = 60 (x 1 hat einen Preis von 1 €, x 2 hat einen Preis von 2 € und das verfügbare Einkommen / Budget ist 60 €).
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Wozu das ganze? Optimieren unter Nebenbedingungen hat große Relevanz für schier unendlich viele wissenschaftliche Gebiete. Gut erklären lässt es sich im Wirtschaftsbereich, weil es dort sehr anschaulich ist: Wir haben eine Funktion, die von einigen Variablen abhängt, beispielsweise vom Geld und von der Arbeitszeit. Lagrange Funktion - Wirtschaftsmathematik - Fernuni - Fernstudium4You. Diese Funktion spuckt uns dann zum Beispiel in Abhängigkeit von diesen beiden Variablen unseren Gewinn aus. Wir wollen nun unseren maximalen Gewinn ausrechnen, haben aber feste Bedingungen an unsere Variablen: Wir haben schlicht und ergreifend nur eine begrenzte Menge an Geld, und auch unendlich viel arbeiten können wir nicht. Erklärung an einem Beispiel
Wie können wir nun eine Funktion optimieren während wir Nebenbedingungen beachten? Schauen wir uns das ganze an einem Beispiel an:
$$ \begin{align*} \mbox{maximiere} ~ f(x, y) = -2x^2 +12x -y^2 +8y -4 \\ \mbox{unter der Nebenbedingung} ~ x+y=2 \end{align*} $$
Wir schauen uns die Funktion mal in einer Visualisierung zusammen mit der Nebenbedingung an.
Ein Konsum von 20 Einheiten von Gut 1 und 20 Einheiten von Gut 2 würde z. einen Nutzen von 2 × 20 × 20 = 800 bringen und 20 × 1 € + 20 × 2 € = 20 € + 40 € = 60 € kosten. Das ist eine Konsummöglichkeit – ist es aber das Optimum (mit dem größten Nutzen)? Lagrange funktion aufstellen boots. Lagrange-Funktion aufstellen
Die Lagrange-Funktion mit λ als sog. Lagrange-Multiplikator lautet:
L = U (x 1, x 2) - λ (p 1 x 1 + p 2 x 2 - m)
L = 2 x 1 x 2 - λ (x 1 + 2 x 2 - 60)
Lagrange-Funktion nach x 1 ableiten und = 0 setzen
2 x 2 - λ = 0
λ = 2 x 2
Lagrange-Funktion nach x 2 ableiten und = 0 setzen
2 x 1 - 2 λ = 0
λ = x 1
Die beiden λ gleichsetzen
x 1 = 2 x 2
Einsetzen von x 1 in die Budgetgleichung
2 x 2 + 2 x 2 = 60
4 x 2 = 60
x 2 = 15
x 1 ermitteln
x 1 = 2 × 15 = 30
Das Haushaltsoptimum liegt also bei einem Konsum von 30 Einheiten von Gut 1 und 15 Einheiten von Gut 2. Der Nutzen ist 2 × 30 × 15 = 900 (und damit höher als mit den Beispielzahlen oben, wo der Nutzen nur 800 war). Dafür gibt der Haushalt sein gesamtes Budget aus: 30 × 1 € + 15 × 2 € = 30 € + 30 € = 60 €.
Das ging viel schneller als die ganze Stickerei! Schwierig zu fotografierender Fuchs in etwas näher! Und dann landete der Fuchs samt Täschchen in Hanas Adventskalender. Ich glaube, sie mag ihn. Verlinkt bei DvD. Lg Nria
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