Der frühe Vogel fängt den Wurm, doch die zweite Maus kriegt den Käse. Unbekannt
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Die binomischen Formeln sind dafür da, um Binome leichter ausrechnen zu können, ohne umständlich ausmultiplizieren zu müssen. Hier findet ihr eine Übersicht mit Erklärung und Beispielen:
Die erste binomische Formel sieht so aus (Merkmal: ein Plus in der Klammer):
( a + b) 2 = a 2 +2 a b + b 2
Beispiel:
( 3x + 4) 2 = ( 3x) 2 +2· 3x · 4 + 4 2 =
9x 2 +24x+16
Herleitung: Nur wie kommt man auf die Formel? Hergeleitet wird die Formel, indem man die Klammern ausmultipliziert. Denn die binomischen Formeln sind dafür da, euch diesen
mühsamen Schritt zu erleichtern. Das "hoch 2" der Klammer bedeutet, dass zwei gleiche Klammern miteinander multipliziert werden. 1 binomische formel aufgaben online. Diese werden anschließend ausmultipliziert und so erhält man die
binomische Formel:
(a+b) 2 = (a+b)∙(a+b)
= a∙a + a∙b + b∙a + b∙b = a 2 + 2ab + b 2
Aufgaben mit Lösungen:
Hier sind Aufgaben, mit denen ihr üben könnt. Die zweite binomische Formel sieht so aus (Merkmal: ein - in der Klammer):
( a - b) 2 = a 2 -2 a b + b 2
( 3x - 4) 2 = ( 3x) 2 -2· 3x · 4 + 4 2 =
9x 2 -24x+16
Herleitung: Die Herleitung der zweiten binomischen Formel funktioniert genauso wie die der ersten.
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Man multipliziert die beiden Klammern aus. Dabei muss man aber immer auf die
Vorzeichen achten. Wie ihr beim Ausklammern feststellt, kommt das Plus vor dem b 2 dadurch, dass das b in beiden Klammern ein Minus als Vorzeichen hat (Minus mal Minus ist Plus):
(a-b) 2 = (a-b)∙(a-b)
= a∙a - a∙b -
b∙a + b∙b = a 2 - 2ab + b 2
Hier sind Aufgaben, die ihr lösen, oder einfach angucken könnt. Die dritte binomische Formel sieht so aus (Merkmal: Zwei Klammern mit den selben Zahlen, welche nur einmal + und einmal - genommen werden):
(a+b)·(a-b) = a 2 -b 2
(2x+1)·(2x-1) = (2x) 2 -1 2 = 4x 2 -1
Herleitung: Die Herleitung der dritten binomischen Formel erfolgt ebenfalls über das ausklammern. Wie bei der zweiten ist auch hier die Beachtung der Vorzeichen wichtig. 1 binomische formel aufgaben 1. Denn
aufgrund der unterschiedlichen Vorzeichen in den Klammern fällt der mittlere Teil weg:
(a+b)·(a-b) = a ·a - a ·b + a ·b - b ·b = a 2 - b 2
Hier sind Aufgaben, mit denen ihr euer Wissen testen könnt. Es gibt auch eine binomische Formel für Klammern mit hoch 3:
( a + b) 3 = a 3 +3 a 2 b +3 a b 2 + b 3
( a - b) 3 = a 3 -3 a 2 b +3 a b 2 - b 3
Die binomischen Formeln für hoch 4 und 5 seht ihr hier:
hoch 4:
(a+b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 +
b 4
(a-b) 4 = a 4 - 4a 3 b + 6a 2 b 2 - 4ab 3 + b 4
hoch 5:
(a+b) 5 = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 +
5ab 4 + b 5
(a-b) 5 = a 5 - 5a 4 b + 10a 3 b 2 - 10a 2 b 3 +
5ab 4 - b 5
Aufgaben zu diesem Thema findet ihr über den Button unten.
Eine Potenz mit einem Exponenten von $2$ bezeichnet man auch als Quadrat. Um die Basis (z. B. $a$) eines Quadrats (z. B. $a^2$) zu berechnen, müssen wir die Wurzel ziehen. 1.4 Binomische Formeln - Mathematikaufgaben und Übungen | Mathegym. zu 2) Häufig sind Terme gegeben, die nur auf den ersten Blick so aussehen, als ob man sie mithilfe der 1. Binomischen Formel faktorisieren könnte. Die beiden Basen (1. Schritt) lassen sich meist ohne Probleme berechnen. Danach sollte man jedoch überprüfen, ob das mittlere Glied auch wirklich das doppelte Produkt der beiden Basen ist. Gilt das nämlich nicht, ist ein Faktorisieren mithilfe der 1. Binomischen Formel nicht möglich. Beispiel 4 Wandle den Term $x^2 + 10x + 25$ in ein Produkt um. Basen der beiden Quadrate berechnen $$ a^2 = x^2 \quad \Rightarrow \quad a = \sqrt{a^2} = \sqrt{x^2} = {\color{red}x} $$ $$ b^2 = 25 \: \quad \Rightarrow \quad b = \sqrt{b^2} = \sqrt{25} = {\color{red}5} $$ Prüfen, ob das mittlere Glied das doppelte Produkt der Basen ist $$ 2 \cdot ({\color{red}x} \cdot {\color{red}5}) = 10x $$ Da $10x$ dem mittleren Glied des gegebenen Terms entspricht,
kann mithilfe der 1.
Wie man Klammern ausmultipliziert, haben wir bereits im Kapitel Ausmultiplizieren besprochen. In dem entsprechenden Kapitel steht: $$ \begin{align*} ({\color{red}a}+{\color{maroon}b}) \cdot (a+b) &= {\color{red}a} \cdot a + {\color{red}a} \cdot b + {\color{maroon}b} \cdot a + {\color{maroon}b} \cdot b \\[5px] &= a \cdot a + a \cdot b + a \cdot b + b \cdot b \\[5px] &= a^2 + 2ab + b^2 \end{align*} $$ Anmerkung: Das Kommutativgesetz erlaubt das Vertauschen von $b \cdot a$ (2. 1. Binomische Formel Übungen. Zeile) in $a \cdot b$. Anwendungen Ausmultiplizieren Wir müssen ausmultiplizieren, wenn $(a+b)^2$ gegeben und $a^2 + 2ab + b^2$ gesucht ist. $$ \begin{array}{ccccccc} ({\color{red}a}+{\color{maroon}b})^2 & = & {\color{red}a}^2 & + & 2{\color{red}a}{\color{maroon}b} & + & {\color{maroon}b}^2 \\ &&\downarrow&&\downarrow&&\downarrow \\ &&\text{Quadrat}&&\text{Doppeltes Produkt}&&\text{Quadrat} \\ &&\text{1. Glied}&&\text{der beiden Glieder}&&\text{2. Glied} \\ &&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow}&&{\color{gray}\uparrow} \\ &&{\color{gray}\text{Schritt 1}}&&{\color{gray}\text{Schritt 2}}&&{\color{gray}\text{Schritt 3}} \end{array} $$ Beispiel 1 Berechne den Term $(x+5)^2$.