Inhalt Vollständige Induktion – Definition Beispiele für die vollständige Induktion Verwendung – Induktionsbeweis Vollständige Induktion – Definition
Die vollständige Induktion ist in der Mathematik eine Beweismethode, um Aussagen über natürliche Zahlen zu beweisen. Mithilfe des Induktionsbeweises kann so beispielsweise die Gauß'sche Summenformel bewiesen werden. Mathematisch ausgedrückt kann man schreiben: $A(n)$ sei eine Aussage für jedes $n \in \mathbb{N}$. Russland meldet die vollständige Eroberung von Mariupol | The Aktuelle News. Der Induktionsbeweis ist deshalb so hilfreich, da er die Möglichkeit bietet, eine Aussage für alle natürlichen Zahlen zu beweisen. Da es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, kann der Beweis nicht für jede einzelne Zahl erbracht werden und hier hilft der Induktionsbeweis dies vergleichsweise übersichtlich für alle Zahlen darzustellen. Ablauf des Induktionsbeweises
Wird ein Beweis mittels vollständiger Induktion durchgeführt, geschieht das in der Regel immer in vier Schritten:
$\begin{array}{ll} \\
A(n) \text{ für alle} n \in \mathbb{N} & \\
~& ~ \\
1.
Vollstaendige Induktion Übungen
"Wir werden sie nach Hause holen. " RND/dpa
Vollständige Induktion Übungen Mit Lösung
Dann betrachte die Zahl p=p 1 *... *p n +1, welche offensichtlich
durch keines der p i, i=1,..., n teilbar ist. Dann muss p, welches ja von allen
p i verschieden ist, offensichtlich eine Primzahl sein. Das ist ein Widerspruch zur Annahme. Also war die Annahme falsch, es muss demnach unendlich viele Primzahlen geben. Der Beweis enthlt eine konstruktive Idee, wie man aus den ersten n Primzahlen eine weitere Zahl konstruieren kann, durch die man die Existenz einer weiteren, der (n+1)-ten Primzahl, nachweisen kann. Anstatt einen Beweis durch Widerspruch zu fhren, htte man auch den direkten Beweis
fhren knnen. Der geht dann so:
Es seien die ersten n Primzahlen bekannt. Dann betrachte Zahl
q = p 1 *... *p n +1,
welche offensichtlich durch keines der p i, i=1,..., n teilbar ist. Wir wissen nicht, ob q eine Primzahl ist, darum betrachten wir jetzt beide Mglichkeiten. Fall 1: q ist eine Primzahl. Russlands Einnahme von Mariupol: Wie geht es weiter mit der Stadt und den Azovstal-Kämpfern?. Dann haben wir eine weitere Primzahl gefunden. Fall 2: q ist keine Primzahl. Dann gibt es einen echten Teiler von q.
Auch den merkwürdigen Namen des Problems können wir verstehen: "P" bezeichnet die Klasse der Problemtypen, die man schnell ("in polynomialer Zeit", daher das "P") lösen kann; "NP" sind die Probleme, die man schnell überprüfen kann ("nichtdeterministisch-polynomial" - also erst raten, dann schnell überprüfen, daher "NP").