Ausrechnen $$tan alpha = 3/4$$ $$alpha ≈ 36, 87°$$ TR-Eingabe: $$3/4$$ shift oder inv $$tan$$ $$=$$
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Wichtig ist dabei nur, dass man genau weiß, was bei den Teildreiecken die Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse ist. Als Ergebnis erhält man folgende Gleichungen: sin α = hb: c sin α = hc: b sin β = hc: a sin β = ha: c sin γ = ha: b sin γ = hb: a Nachfolgend die Erläuterung in der Bildergalerie, wann man die Seiten a, b und c, die Höhen ha, hb und hc als Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse in die Funktion sin α = Gegenkathete: Hypotenuse einsetzt und die Gleichungen bildet. 1. Bei diesem rechtwinkligen Dreieck ist, bezogen auf den Winkel α, die Seite hb die Gegenkathete und Seite c die Hypotenuse. 2. Bei diesem Dreieck ist hc die Gegenkathete und b die Hypotenuse. Sinussatz und Dreieck: Berechnen eines Dreiecks. 3. Bezogen auf den Winkel β ist hc die Gegenkathete und a die Hypotenuse. 4. Bei diesem Dreieck ist die Seite ha die Gegenkathete und c die Hypotenuse. 5. Bezogen auf den Winkel γ ist ha die Gegenkathete und b die Hypotenuse. 6. Bei diesem Dreieck ist hb die Gegenkathete und a die Hypotenuse.
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Die Flächenberechnung wird in der 5. Klasse und 6. Klasse der Schule in Mathematik behandelt. Zunächst geht es dabei um sehr einfache Dinge wie die Fläche von einem Rechteck. Bald darauf folgt jedoch auch die Fläche von einem Dreieck (oft in der 6. Klasse).
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Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $$Tang\ens = (Ge\g\e\nkathete)/(Ankathete)$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Einfache Berechnungen mit den Winkelfunktionen Beispiel 1: Seiten berechnen gegeben: $$c = 4\ cm$$; $$alpha = 30°$$; $$gamma = 90°$$ Seite $$a$$ 1. Formel aufstellen $$sin alpha = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$ 2. Formel umstellen $$sin alpha = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$ $$c * sin alpha = a$$ 3. Ausrechnen $$4 * sin 30° = a$$ $$2\ cm = a$$ Seite b 1. Formel aufstellen $$cos β = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$ 2. Flächeninhalt dreieck mit sinus. Formel umstellen $$cos β = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ $$| * c$$ $$c * cos β = b$$ 3. Ausrechnen $$4 * cos 30° = b$$ $$3, 46 cm ≈ b$$ TR-Eingabe: $$4$$ $$*$$ $$sin$$ $$30$$ $$=$$ TR-Eingabe: $$4$$ $$*$$ $$cos$$ $$30$$ $$=$$ Einfache Berechnungen mit den Winkelfunktionen Beispiel 2: Winkel berechnen $$a= 3\ cm$$; $$b = 4\ cm$$; $$alpha =? $$ Winkel $$alpha$$ 1. Formel aufstellen $$tan alpha = (Geg\enkathete)/(Ankathete) = a/b$$ 2.
Flächeninhalt Dreieck Mit Sinus
Formel aufschreiben $$ A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} $$ Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen $$ \phantom{A} = \frac{1}{4} \cdot (5\ \textrm{m})^2 \cdot \sqrt{3} $$ Ergebnis berechnen $$ \begin{align*} \phantom{A} &= \tfrac{1}{4} \cdot 25\ \textrm{m}^2 \cdot \sqrt{3} \\[5px] &= (\tfrac{1}{4} \cdot 25 \cdot \sqrt{3})\ \textrm{m}^2 \\[5px] &= 6{, }25\sqrt{3}\ \textrm{m}^2 \end{align*} $$ Beispiel 3 Wie groß ist der Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit $a = 6\ \textrm{km}$? Formel aufschreiben $$ A = \frac{1}{4} \cdot a^2 \cdot \sqrt{3} $$ Wert für $\boldsymbol{a}$ einsetzen $$ \phantom{A} = \frac{1}{4} \cdot (6\ \textrm{km})^2 \cdot \sqrt{3} $$ Ergebnis berechnen $$ \begin{align*} \phantom{A} &= \tfrac{1}{4} \cdot 36\ \textrm{km}^2 \cdot \sqrt{3} \\[5px] &= (\tfrac{1}{4} \cdot 36 \cdot \sqrt{3})\ \textrm{km}^2 \\[5px] &= 9\sqrt{3}\ \textrm{km}^2 \end{align*} $$ Zurück
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1. Ist die Seite b bekannt, kann man mit α und β die Länge von a berechnen. 2. Seite a kann auch mit der Seite c und den Winkeln α und γ berechnet werden. 3. Mit dem Wert von a und den beiden Winkeln α und β kann man b berechnen. 4. Man kann b ebenfalls mit dem Wert von c und den beiden Winkeln β und γ berechnen. 5. Um Seite c zu berechnen, braucht man Seite a und die Werte von α und γ. 6. Flächeninhalt dreieck sinus. Falls Seite b bekannt ist, braucht man die Werte von β und γ, um Seite c zu berechnen. 7. Für die Berechnung von sin α braucht man die Seiten a und b sowie den Winkel β. 8. Falls die Seiten a und c bekannt sind, braucht man den Winkel γ, um sin α zu berechnen. 9. Mit den Seiten a und b und dem Winkel α kann man sin β berechnen. 10. Man kann sin β auch berechnen, wenn die Seiten b und c und der Winkel γ bekannt ist. 11. Sind die Seiten a und c sowie der Winkel α bekannt, kann man sin γ berechnen. 12. Mit den Seiten b und c sowie dem Winkel β kann sin γ ebenfalls berechnet werden. Bei den Formeln wird deutlich, dass wenn zwei Seiten und ein Winkel gegeben sind, der Winkel nicht eingeschlossen sein darf.
Los geht es mit rechtwinkligen Dreiecken. In rechtwinkligen Dreiecken kannst du gleiche Längenverhältnisse entdecken. kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Der Sinus eines Winkels a) $$alpha = 30°$$; $$a = 2\ cm$$; $$c = 4\ cm$$ b) $$α = 30°$$; $$a = 3\ cm$$; $$c = 6\ cm$$ Der Quotient $$a/c = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert. a) $$a/c=2/4=1/2$$ b) $$a/c=3/6=1/2$$ Dieses Längenverhältnis wird Sinus genannt. Flächeninhalt dreieck situs resmi. Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $$S\i\n\us = (Geg\enkathete)/(Hypoten\use)$$ Der Kosinus eines Winkels Der Quotient $$b/c = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert. Dieses Längenverhältnis wird Kosinus genannt. Im rechtwinkligen Dreieck gilt: $$K\o\si\n\us = (Ankathete)/(Hypoten\use)$$ Der Tangens eines Winkels Der Quotient $$a/b = (Ge\g\e\nkathete)/(Ankathete)$$ hat bei beiden rechtwinkligen Dreiecken den gleichen Wert. Dieses Längenverhältnis wird Tangens genannt.