10. 01. 2017, 10:11
Program4fun
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Minimaler Abstand zweier Punkte im Raum
Hi. Suche den Abstand zweier Punkte im Raum, die wie folgt gegeben sind:
und
Die Werte für und sind vorgegeben, der Wert für für den geringsten Abstand beider Punkte wird gesucht. Abstand zweier Punkte im Raum:
Beide Punkte eingesetzt:
Jetzt wird es lustig. Um die Extremwerte zu finden muss man die erste Ableitung bilden und gleich 0 setzen. Jetzt noch die Nullstellen finden. Mein erster Ansatz:
Nullstellen sind dort zu finden, wo der Zähler 0 ist, also gilt:
Allerdings passt das irgendwie nicht. Außerdem müsste ich noch die zweite Ableitung erstellen, um auf Minimum zu überprüfen. Hat hier noch jemand eine Idee, wie das evtl. leichter geht? Bin ich überhaupt auf dem richtigen Weg? Vielen Dank schon mal für jede Hilfe!!!! 10. 2017, 10:19
HAL 9000
Anmerkungen:
1) Der Abstand wird genau dann minimal, wenn das Abstandsquadrat minimal ist. Insofern wäre die günstigere Wahl, da musst du dich nicht unnötigerweise mit den Wurzeln rumplagen.
- Abstand zweier punkte im rauma
- Abstand zweier punkte im raum
Abstand Zweier Punkte Im Rauma
Ermittle den Schnittpunkt S von E und g.
Berechne die Entfernung zwischen P und S. Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors":
Bilde den Vektor, der P mit einem Punkt Q λ der Geraden g verbindet. Bestimme λ so, dass der Verbindungsvektor senkrecht zu g steht (also das Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor von g den Wert 0 ergibt). Berechne jetzt die Länge des senkrechten Verbindungsvektors. Welchen Abstand hat der Punkt P(5|-3|2) von der Geraden g:? Hier zwei alternative Vorgehensweisen, um den Abstand zweier windschiefer Geraden g und h zu bestimmen: Mittels Hilfsebene: Führe eine Hilfsebene E ein, die g enthält und parallel ist zu h (für die Gleichung von E in Parameterform kann man den Aufpunkt von g und die Richtungsvektoren beider Geraden verwenden). Wandle E in Normalenform um. Bestimme den Abstand zwischen dem Aufpunkt von h und der Hilfsebene E. Oder mit Hilfe des "Verbindungsvektors": Bilde den Vektor, der einen Punkt P λ der Geraden g mit einem Punkt Q μ der Geraden h verbindet.
Abstand Zweier Punkte Im Raum
Im Folgenden werde ich dir zeigen, wie du diese Abstände auch berechnen kannst im R 3, also im Raum. Ok. Nachdem ich in der Ebene, also im R 2 wiederholt habe, wie man den Abstand zweier Punkte berechnen kann mit dieser Formel, werde ich mir das ganze jetzt im R 3 anschauen, also im Raum. Ich habe hier links schon mal ein Koordinatensystem vorbereitet mit den beiden Punkten R(3|4|2) und S (1|1|3). Wenn du die beiden Punkte miteinander verbindest, bekommst du die Strecke zwischen R und S und die Länge dieser Strecke ist der gesuchte Abstand. Auch hier wieder es ist egal, wie rum du das machst. Ob du von R nach S gehst oder von S nach R. Der Abstand ist der gleiche. Das werde ich nachher nochmal sagen, was das bedeutet. Ich habe diese beiden Punkte hergenommen und habe dann einen Quader beschrieben. Und in diesem Quader sind diese beiden Punkte räumlich diagonal gegenüberliegende Punkte. Den Quader kannst du hier blau erkennen. Und nun habe ich dieses ganze Koordinatensystem erstmal weggenommen, weil ich jetzt im Folgenden mache ein kleines bisschen deutlicher zu haben.
Wobei allerdings dieses Ergebnis auch als Länge des Vektors bezeichnet wird... Bin mir Momentan nicht richtig sicher ob das ich bleibe dran
Edit: @Dodo, wessen Ergebnis ist jetzt genauer? Dieser Beitrag wurde bereits 1 mal editiert, zuletzt von "Horschti" ( 23. Februar 2010, 12:55)
mikeb69 schrieb:
Die Herleitung ist eigentlich simpel. Im 2D Koordiantensystem (KS) ist der Punktabstand über Pythagoras zu berechnen. Also a^2 + b^2 = c^2
Für zwei Punkte P1 und P2 setzen wir dann ein:
(x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 = c^2
Mit 1, 1 und 2, 2 (Entfernung kann man ja dann im Kopf berechnen... )
(1-2)^2 + (1-2)^2 = c^2
1 + 1 = c^2
Also Entfernung ist dann Wurzel aus 2
3D geht im Prinzip genauso, nur dass wir halt die Formel von oben als eine Strecke einsetzen (zb "a"). Wir berechnen also quasi erst eine Ebene, "drehen" das ganze dann - bzw schauen "seitlich" drauf - und berechnen wieder die Entfernung. (x1 - x2)^2 + (y1 - y2)^2 + (z1 - z2)^2 = c^2
So hat man die Herleitung ohne Vektoren, man braucht nur etwas räumliches Vorstellungsvermögen.