Darstellungsformen komplexer Zahlen
Für komplexe Zahlen gibt es verschiedene Darstellungsformen, die ihre Berechtigung in der Tatsache haben, dass damit jeweils andere Rechenoperationen besonders einfach durchgeführt werden können. Man unterscheidet zwischen der kartesischen Darstellung und der Darstellung in Polarform. Bei Letzterer unterscheidet man weiter nach trigonometrischer und exponentieller Darstellung
Komplexe Zahl in kartesischer Darstellung
Komplexe Zahlen in kartesischer Darstellung, setzen sich aus dem Realteil a und dem um 90° gegen den Uhrzeitersinn gedrehten Imaginärteil ib zusammen. Die kartesische Darstellung wird auch Komponentenform, algebraische Normalform bzw. Komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten | Experimentalelektronik. Binomialform genannt. Die kartesische Darstellung hat den Vorteil, dass sich Addition bzw. Subtraktion zweier komplexer Zahlen auf die Durchführung einer simplen Addition bzw. Subtraktion von den jeweiligen Real- bzw. Imaginärteilen beschränkt. \(\eqalign{ & z = a + ib \cr & {\text{mit:}}\, i = \sqrt { - 1} \cr}\)
a = Re(z) … a ist der Realteil von z
b = Im(z) … b ist der Imaginärteil von z
i … imaginäre Einheit
Vorsicht: Sowohl der Realteil a als auch der Imaginärteil b einer komplexen Zahl sind selbst reelle Zahlen.
- Komplexe Zahlen in kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten | Experimentalelektronik
Komplexe Zahlen In Kartesischen Koordinaten Und Polarkoordinaten | Experimentalelektronik
Potenzen komplexer Zahlen in Polarkoordinaten
\(
\def\, {\kern. 2em}
\let\phi\varphi
\def\I{\mathrm{i}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\)
Man multipliziert komplexe Zahlen,
indem man ihre Beträge multipliziert
und ihre Argumente addiert:
Für \(\color{red}{z} = r\, (\cos(\color{red}{\phi})+\I\sin(\color{red}{\phi}))\)
und \(z' = r'\, (\cos(\phi')+\I\sin(\phi'))\)
gilt
z' \color{red}{z}
=
r'\, (\cos(\phi')+\I\sin(\phi'))\,
r\, (\cos(\color{red}{\phi})+\I\sin(\color{red}{\phi}))
= r'r\, (\cos(\phi'+\color{red}{\phi})+\I\sin(\phi'+\color{red}{\phi}))
\). Deswegen potenziert man eine komplexe Zahl, indem man ihren
Betrag potenziert und ihr Argument vervielfacht:
Für \(\color{red}{z} = r\, (\cos(\color{red}\phi)+\I\sin(\color{red}\phi))\)
und \(\color{blue}n\in\NN\)
\color{red}{z}^{\color{blue}n}
r^{\color{blue}n}\, (\cos(\color{blue}n\color{red}\phi)+\I\sin(\color{blue}n\color{red}\phi))
In der Skizze können Sie \(\color{red}{z}\) mit der Maus
bewegen und \(\color{blue}n\) mit dem Schieberegler unten einstellen.
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