Bei einer Funktion und einer Umkehrfunktion sind Definitionsmenge und Wertemenge einfach vertauscht. Die Definitionsmenge der Funktion ist die Wertemenge der Umkehrfunktion und umgekehrt. (Zur Erinnerung: eine Definitionsmenge besteht aus allen x-Werten, die man einsetzen darf, die Wertemenge sind alle y-Werte die bei einer Funktion rauskommen können. )
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Aufgaben Zur Bestimmung Von Definitionsmengen - Lernen Mit Serlo!
Beispiel 1
Du sollst den Definitionsbereich der Funktion bestimmen. Um die Definitionslücken zu ermitteln, berechnest du die Nullstellen des Nenners:
Die beiden Definitionslücken sind somit x 1 = -2 und x 2 = 2. Du kannst also den Definitionsbereich angeben:
Das siehst du auch direkt, wenn du den Graphen von zeichnest. Der Funktionsgraph hat bei und bei jeweils eine senkrechte Asymptote, an die der Graph sich nach oben und unten hin immer mehr annähert. Beispiel 1: Definitionsbereich gebrochen rationaler Funktionen
Beispiel 2
Wir wollen den Definitionsbereich von bestimmen. Dazu berechnest du wieder zuerst die Definitionslücken, das heißt die Nullstellen des Nenners. x 3 + 2x 2 – 8x = 0
Dafür klammerst
du ein x aus. Dann steht in der Klammer eine quadratische Funktion, die du mit der Mitternachtsformel
lösen kannst. Aufgaben zur Bestimmung von Definitionsmengen - lernen mit Serlo!. Du erhältst also:
x ( x 2 + 2x – 8) = 0
⇒ x 1 = 0, x 2 = 2 und x 3 = -4
Für den Definitionsbereich gilt also Der Funktionsgraph sieht hier folgendermaßen aus. Beispiel 2: Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion
E Funktion und ln-Funktion
im Video zur Stelle im Video springen (03:44)
Auch bei der e-Funktion
und der ln-Funktion
gibt es einige Besonderheiten.
Wertebereich Bestimmen | Mathebibel
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Aus der Definition einer Funktion geht hervor, dass jedem x-Wert (aus der Definitionsmenge) genau ein y-Wert (aus der Wertemenge) zugeordnet wird. Jeder x-Wert zeigt auf genau einen y-Wert. Wertebereich bestimmen | Mathebibel. Derselbe y-Wert kann dabei auch mehrfach angesprochen werden.! Achtung
Ein x-Wert darf aber nicht auf mehrere y-Werte zeigen! Folgendes wäre keine gültige Funktion, da von $x_2$ (aus der Defintionsmenge) zwei Pfeile abgehen.
Dann setzt du die obere Grenze des Intervalls (2) in die Funktion ein, um den größten y-Wert zu bekommen: f(0) = 0+2 = 2 f(2) = 2+2 = 4 Der kleinste y-Wert (2) und der größte y-Wert (4) sind die Grenzen des gesuchten Wertebereichs. Somit gilt: = {2, 4} Graphisch betrachtet entspricht der Definitionsbereich (alle erlaubten x-Werte) der x-Achse und der Wertebereich (alle möglichen y-Werte) lässt sich dagegen an der y-Achse ablesen. Wertebereich quadratische Funktionen Wie du bereits wissen solltest, werden quadratische Funktionen in ganz R definiert. Aber im Gegensatz zu linearen Funktionen nehmen quadratische Funktionen grundsätzlich nicht jeden y-Wert an. Für den Wertebereich einer quadratischen Funktion gilt daher: Dabei ist die Koordinate des Scheitelpunkts. Im nächsten Beispiel solltest du bereits wissen, wie man Scheitelpunkt berechnet Wir bestimmen die Wertemenge mit den folgenden Rechenschritten: Vorzeichen von x² ablesen Scheitelpunkt berechnen Wertebereich bestimmen Beispiel 1: Wertebereich quadratische Funktionen Es sei der Graph der Funktion f(x) = x²-6x+10 gegeben.
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