26. 09. 2015, 19:17
studentvonmathe
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Eindeutigkeit der Wurzel aus komplexen Zahlen
Hallo zusammen,
in gilt ja bekanntlich, dass genau die nichtnegative Zahl ist, die folgende Gleichung erfüllt:. Damit ist die Wurzel funktion eindeutig (also tatsächlich eine Funktion), da sie jedem x genau ein c zuweist. Definitionsbereich:. Wie sieht das in aus? Für die Gleichung mit gibt es für z ja genau n verschiedene Lösungen, sofern. Radizieren komplexer Zahlen - Matheretter. Nennen wir diese Lösungen
Kurze Frage: Welche dieser Lösungen ist nun? Ist die n-te Wurzelfunktion in C eindeutig oder besser gesagt: Gibt es eine solche Funktion
Wenn ich mich recht entsinne, gibt es im Komplexen ja nicht soetwas wie negative und postivie Zahlen...
Viele Grüße
26. 2015, 19:51
Elvis
1. Funktionentheorie (= "komplexe Analysis"): n-te Wurzeln im Komplexen sind "mehrdeutige Funktionen". Sie werden auf der jeweils zugehörigen "Riemannschen Fläche" eindeutig (außer im Nullpunkt), d. h. man erweitert den Definitionsbereich geeignet zu einer sogenannten "Überlagerung" von.
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In der Algebra befasst man sich primär nicht mit Funktionen, sondern mit Gleichungen und deren Lösungen als Elementen von Lösungsmengen. Das ist verträglich damit, dass man schon in der linearen Algebra nicht mit einer speziellen Lösung v eines LGS zufrieden ist, sondern für homogenes LGS den Untervektorraum U aller Lösungen, für inhomogenes LGS eine Nebenklasse v+U betrachtet. Jedes v+u mit u in U ist dann eine spezielle Lösung; in diesem Beispiel versucht man auch nicht, eine Funktion zu konstruieren, die zu einem LGS genau eine Lösung auswählt (selbstverständlich darf das jeder Mensch und jeder Taschenrechner auch anders sehen und berechnen). Wurzel aus komplexer zahl meaning. 27. 2015, 14:38
Das ist ja schön und gut, ändert aber nichts daran, dass es auch die Handhabung gibt, komplexe Funktionen wie Wurzeln, Logarithmen, allgemeine Potenzen als eindeutige Funktionen auf zu definieren, nämlich über den sogenannten Hauptwert. Wenn jemand ein Buch schreibt, mag er das so oder so handhaben. Das bleibt ihm überlassen. Wenn hier im Board eine Frage dazu gestellt wird, sollte aber nicht eine der Varianten unterschlagen werden.
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Es gibt also 3 verschiedene Ergebnisse für \(\sqrt[3]{-1}\).
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Und schwuppdiwupp...! 30. 2009, 03:08
Es geht auch direkt, denn das System lässt sich ganz "normal" lösen:
quadr. Gleichung nach lösen:
da a nur reell sein kann, folgt a = 4 oder a = -4, -> b
30. 2009, 09:49
Mystic
Tatsächlich gibt es für diese Aufgabe noch eine interessante "zahlentheoretisch angehauchte" Alternative, wenn man den begründeten Verdacht hat, dass "schöne" Lösungen existieren könnten (was ja bei Schulaufgaben häufig der Fall ist! )... Man muss dazu nur sehen, dass für
die Zahlen 15 und 8 die Kathetenlängen für ein rechtwinkeliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen sind... Genauer gilt
Jetzt muss man nur noch die komplexen Zahlen mit ganzahligen bestimmen, sodass gilt
Dafür gibt's in der algorithmischen Zahlentheorie einen Algorithmus, aber den braucht man hier wohl noch nicht... Aus Wurzel eine Komplexe Zahl? (Mathe, Mathematik, Physik). Unter diesen Zahlen befinden sich dann u. a. auch die Wurzeln von, wobei man zu deren genauen Bestimmung einfach die weiteren Gleichungen
noch dazunehmen sollte...
PS. Liebe Grüße an mYthos aus dem "hohen Norden"...
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30.
Wurzelziehen bei komplexen Zahlen (in Polarkoordinaten)
\(
\def\, {\kern. 2em}
\let\phi\varphi
\def\I{\mathrm{i}}
\def\NN{\mathbb{N}}
\def\ZZ{\mathbb{Z}}
\)
Man multipliziert komplexe Zahlen,
indem man ihre Beträge multipliziert
und ihre Argumente addiert:
Für \(\color{red}{z} = r\, (\cos(\phi)+\I\sin(\phi))\)
und \(w = s\, (\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\)
gilt
w z
=
s\, (\cos(\psi)+\I\sin(\psi))\,
r\, (\cos(\phi)+\I\sin(\phi))
= sr\, (\cos(\psi+\phi)+\I\sin(\psi+\phi))
\).
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