Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der. Eine Lösung lässt sich dann durch sukzessive Substitution von Kongruenzen lösen, bis sich eine simultane Kongruenz mit paarweise teilerfremden Moduln ergibt. Dieses lässt sich dann wie im Beweis des Restsatzes gezeigt lösen. Chinesischer Restsatz mit Polynomen | Mathelounge. Wie die sukzessive Substitution erfolgt, soll später an einem konkreten Beispiel gezeigt werden. Chinesischer Restsatz Beispiel
Zunächst soll allerdings ein Beispiel durchgerechnet werden, bei dem die Moduln teilerfremd sind. Beispiel: Chinesischer Restsatz teilerfremde Moduln
im Video zur Stelle im Video springen (03:19)
Gesucht sei eine ganze Zahl mit der Eigenschaft:
Zum Finden einer Lösung wird nun die Argumentationskette des Beweises abgearbeitet. Zunächst wird das Produkt der teilerfremden Moduln gebildet:
Somit lauten die ∶
Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus lassen sich ganze Zahlen und mit finden:
Es gilt also für:
Weiterhin gilt:
Eine Lösung der simultanen Kongruenz lautet demnach
Aufgrund der Tatsache sind also alle Lösungen kongruent zu 47 modulo 60.
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Chinesischer Restsatz Mit Polynomen | Mathelounge
Du möchtest wissen, was eine Gleitkommazahl ist? Im Folgenden zeigen wir dir, wie du eine Binärzahl in eine Gleitkommazahl umwandeln kannst an einem einfachen Beispiel. Allgemeine Schreibweise und die drei Bereiche der Gleitkommazahl
Es gibt zwei verschiedene Arten, Dezimalbrüche zu kodieren. Zum einen die Festkommazahl und zum anderen die Gleitkommazahl, die wir hier genauer betrachten. Chinesischer restsatz rechner grand rapids mi. Sie wird auch häufig als Fließkommazahl bezeichnet. Wir verwenden für Umwandlungen immer eine allgemeine Schreibweise. Im Fall der Gleitkommadarstellung sieht sie so aus:
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Allgemeine Schreibweise
k steht für die Anzahl der Nachkommastellen, während n die Gesamtanzahl der Stellen angibt. Allerdings sieht die Umsetzung etwas anders aus, denn wir untergliedern eine Zahl in der Gleitkommadarstellung in drei "Bereiche": Das Vorzeichen-Bit, die Charakteristik und die Mantisse. Das hört sich erst mal recht kompliziert an, deswegen gehen wir jetzt jeden Teil einzeln durch. Als Erstes müssen wir aber klären, was eine Gleitkommadarstellung überhaupt ist.
Chinesischer Restsatz
Die genaue Bedingung [3] lautet:
Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle gilt:,
wobei für den größten gemeinsamen Teiler von und steht. Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem der. Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z. B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind. Ein klassisches Rätsel besteht darin, die kleinste natürliche Zahl zu finden, die bei Division durch 2, 3, 4, 5 und 6 jeweils den Rest 1 lässt, und durch 7 teilbar ist. Gesucht ist also die kleinste positive Lösung der simultanen Kongruenz
Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden. Chinesischer restsatz rechner. Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu, d. h. zu finden ist eine Lösung von
Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem chinesischen Restsatz lösbar. Die Lösungen sind kongruent zu 301 modulo 420. Direktes Lösen von simultanen Kongruenzen ganzer Zahlen [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Gegeben sind die beiden simultanen Kongruenzen:
Wenn diese lösbar sind, das heißt, so sind sie äquivalent mit der einfachen Kongruenz:
mit.
Gesucht ist also die kleinste positive Lösung x x der simultanen Kongruenz
x ≡ 1 m o d 2 x ≡ 1 m o d 3 x ≡ 1 m o d 4 x ≡ 1 m o d 5 x ≡ 1 m o d 6 x ≡ 0 m o d 7 \array{ {x \equiv 1 \mod 2} \\{x \equiv 1 \mod 3} \\{x \equiv 1 \mod 4} \\{x \equiv 1 \mod 5} \\{x \equiv 1 \mod 6}\\ {x \equiv 0 \mod 7}}
Da die Moduln nicht teilerfremd sind, kann man nicht direkt den Chinesischen Restsatz (mit Lösungsverfahren) anwenden. Man kann aber die ersten fünf Bedingungen zusammenfassen zu x ≡ 1 m o d kgV ( 2, 3, 4, 5, 6) x \equiv 1 \mod \kgV(2, 3, 4, 5, 6), d. h. zu finden ist eine Lösung von
x ≡ 1 m o d 60 x ≡ 0 m o d 7 \array{ {x \equiv 1 \mod 60} \\{x \equiv 0 \mod 7}}
Dieses Kongruenzsystem ist nun mit dem Chinesischen Restsatz lösbar. Chinesischer Restsatz. (Die Lösung sei dem Leser überlassen. ) Ein Mathematiker ist eine Maschine, die Kaffee in Theoreme verwandelt. Paul Erdös
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Patientenstimmen
Zitate von jameda
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