Gleichungen mit zwei Variablen: Lösungen graphisch und mit Hilfe von Tabellen darstellen
Lineare Gleichungssysteme: graphisch und mit Hilfe von Tabellen lösen
Technologie:
Einsatz von Tabellenkalkulation (StarOffice7)
Einsatz von GeoGebra
Hilfe
7. Begriffe rund um LGS
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen x und y - kurz LGS - besteht aus zwei Gleichungen mit zwei Variablen x und y:
Gleichung: a 1 x + b 1 y = c 1
Gleichung: a 2 x + b 2 y = c 2
Die Koeffizienten a 1, a 2, b 1, b 2, c 1 und c 2 sind dabei konstante reelle Zahlen. Lösungsverfahren von linearen Gleichungen mit einer oder zwei Variablen. Unter einer Lösung versteht man ein Zahlenpaar (x, y), das beide Gleichungen in eine wahre Aussage überführt. Lernstoff
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Lineare Gleichungssysteme Mit 2 Variablen Graphisch Lösen Aufgaben
3. 2 Lösungsmethoden für lineare Gleichungssysteme
Substitutionsmethode (Einsetzungsmethode):
Aus einer Gleichung wird eine Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Der erhaltene Ausdruck wird in die andere Gleichung eingesetz. I. x+2y = 8 --> x = 8-2y
II. 3x+y = 9
-------------------------------------
in II. einsetzen:
3*(8-2y)+y = 9 --> y = 3, x = 8-2*3 = 2
Lösung: (2/3)
Eliminationsmethode (Additionsmethode):
Man multipliziert die Gleichungen mit geeigneten Zahlen, sodass beim Addieren der beiden Gleichungen eine Unbekannte wegfällt:
I. Lineare gleichungssysteme mit 2 variablen graphisch lösen sich. x+2y = 8 /*(-3)
II. 3x-y = 9
-------------------------
I. -3x-6y = -24
II. 3x+y = 9 /+
-5y = -15 --> y = 3
In II. einsetzen: 3x+3 = 9 --> x=2
Komparationsmethode (Gleichsetzngsmethode):
Aus beiden Gleichungen wird die gleiche Unbekannte durch die andere ausgedrückt. Anschließend werden die erhaltenen Ausdrücke gleichgesetzt. II. 3x+y = 9 --> x = 3-(1/3)y
----------------------------------
Gleichsetzen: 8-2y = 3-(1/3)y ---> y = 3
Einsetzen in eine der beiden Gleichungen liefert: x = 2
Eintrag in das Lerntagebuch, Lernstoff
3.
Lineare Gleichungssysteme Mit 2 Variablen Graphisch Lösen Sich
Dabei ist m die Steigung (zeigt an, wie stark die Gerade steigt oder fällt) und b der y-Achsenabschnitt (zeigt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet) der Gerade. Ist m positiv, so steigt die Gerade (von links nach rechts) Ist m negativ, so fällt die Gerade (von links nach rechts) Ist m = 0, so verläuft die Gerade parallel zur x-Achse
Bestimme zeichnerisch: Welchen y-Achsenabschnitt besitzt die Gerade g, die durch den Punkt (-3; -1) geht und parallel ist zur Geraden h mit der Gleichung y = 1 − 0, 25x?
Lineare Gleichungssysteme Mit 2 Variablen Graphisch Lesen Sie Mehr
Einsetzen der umgeformten Gleichung in die andere (zweite) Gleichung. Umformen der zweiten Gleichung nach der noch vorhandenen Variablen. Einsetzen des Ergebnisses in die zuerst umgeformte Gleichung.
Lineare Gleichungssysteme Mit 2 Variablen Graphisch Lose Fat
Hier sind beide Gleichungen bereits nach der Variablen y umgestellt. y = 5, 00 + 0, 20 $$\cdot$$ x y = 10, 00 + 0, 10 $$\cdot$$ x 2. Setze die Gleichungen gleich. Da y = y richtig ist, muss auch 5, 00 + 0, 20 $$\cdot$$ x = 10, 00 + 0, 10 $$\cdot$$ x richtig sein. So erhälst du eine neue Gleichung mit nur einer Variablen: 5, 00 + 0, 20 $$\cdot$$ x = 10, 00 + 0, 10 $$\cdot$$ x 3. Löse die neue Gleichung nach der Variablen auf. Lineare gleichungssysteme mit 2 variablen graphisch lösen aufgaben. 5, 00 + 0, 20 $$\cdot$$ x = 10, 00 + 0, 10 $$\cdot$$ x 5 + 0, 20x = 10 + 0, 10x | - 0, 10x 5 + 0, 20x - 0, 10x = 10 | - 5 5 + 0, 10x = 10 | - 5 5 - 5 + 0, 10x = 10 - 5 0, 10x = 5 |: 0, 10 x = 50 Das Ergebnis bedeutet, dass bei x = 50 beide Gleichungen erfüllt sind. Wenn du also 50 Minuten im Monat telefonierst, sind beide Tarife gleich teuer. Die Schritte 4-6 findest du auf der nächsten Seite. Damit du siehst, dass die 2 Gleichungen zusammen gehören, kannst du auch rechts und links Striche setzen: $$|[ y = 5, 00 + 0, 20 \cdot x], [y = 10, 00 + 0, 10 \cdot x]|$$ kann mehr: interaktive Übungen und Tests individueller Klassenarbeitstrainer Lernmanager Die Schritte 4 - 6 4.
Es gibt keinen Punkt, der auf beiden Geraden liegt. Somit besitzt das Gleichungssystem keine Lösung. Wir lösen das Gleichungssystem mit der Elliminationsmethode. I. x + 2y = 5 ¦ *(-2)
II. 2x + 4y = 3 --> ¦ +
---------------------------
0 = -7 --> Flasche Aussage!!! Es gibt kein Zahlenpaar (x/y), das beide Gleichungen erfüllt. Das Gleichungssystem besitzt daher keine Lösung. 3. Beispiel: Löse das folgende linear Gleichungssystem grafisch und rechnerisch! II. 2x + 4y = 10
Wir stellen die beiden Gleichungen in expliziter Form dar. II. 2x + 4y = 10 --> y = -½x + 5/2
Die beiden Geraden haben die gleiche Steigung und gleiches d. Sie sind somit parallel und zusammenfallend. Lineare gleichungssysteme mit 2 variablen graphisch lesen sie mehr. Jeder Punkt auf dieser Gerade entspricht einer Lösung. Somit hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen
I. x + 2y = 5 ¦*(-2)
II. 2x + 4y = 10 --> ¦ +
----------------------------
0 = 0 --> wahre Aussage!! Jedes Zahlenpaar (x/y), das die 1. Gleichung erfüllt, erfüllt auch die 2. Gleichung. Das Gleichungssystem besitzt daher unendlich viele Lösungen.
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