Es sei gegeben ein Vektor bezogen auf eine Basis z. B. Standardbasis und man möchte diesen Vektor in eine andere Basis, sagen wir überführen. Wie geht man dabei vor? Man versucht jeden einzelnen Vektor der Basis A durch eine Linearkombination aus den Vektoren der Basis B darzustellen. Dadurch bekommt man drei lineare Gleichungssysteme:
Man löst diese drei LGS einzeln und schreibt die Koeffizienten spaltenweise in eine Matrix oder man löst sie mit Gauß-Jordan-Algorithmus alle drei auf einmal, was um einiges schneller geht. Gauß-Jordan-Algorithmus / Gauß-Jordan-Verfahren | Mathematik - Welt der BWL. LGS mit Gauß-Jordan-Algorithmus lösen:
Man schreibt die Basen in einer Matrixform nebeneinander und wendet den Gauß-Jordan-Algorithmus so lange an, bis auf der linken Seite die Einheitsmatrix steht. Z2 = Z2 + 2*Z1
Z3 = Z3 – 4*Z1
Z2 = 8*Z2
Z3 = 5*Z3
Z3 = Z3 + Z2
Z1 = -2*Z1
Z2 = Z2 / 4
Z1 = Z1 – 3*Z3
Z2 = Z2 – 9*Z3
Z2 = Z2 / 5
Z1 = Z1 -2*Z2
Z1 = Z1 / (-2)
Z2 = Z2 / 2
Z3 = Z3 / 3
Die Matrix auf der rechten Seite entspricht der Transformationsmatrix von A nach B, also
Mit der Matrix kann ein belieber Vektor der Basis A in einen Vektorraum mit der Basis B übergeführt werden.
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Wird im ersten Schritt die Matrix weiter umgeformt, bis die Lösung direkt abgelesen werden kann, nennt man das Verfahren Gauß-Jordan-Algorithmus. Kontrolle durch Zeilensumme
Die Umformungen können durch das Berechnen der Zeilensumme kontrolliert werden. Hier wurde in der letzten Spalte die Summe aller Elemente der jeweiligen Zeile addiert. Für die erste Zeile ist die Zeilensumme 1+2+3+2 = 8. Da an der ersten Zeile keine Umformungen durchgeführt werden ändert sich ihre Zeilensumme nicht. Bei der ersten Umformung dieses Gleichungssystems wird zur zweiten Zeile das (-1)-fache der ersten addiert. Macht man das auch für die Zeilensumme dann gilt 5 + (-1)*8 = -3. Dieses Ergebnis ist die Zeilensumme der umgeformten zweiten Zeile -1 - 2 + 0 = -3. Zur Überprüfung der Rechnungen kann man also die Umformungen an der Zeilensumme durchführen, sind alle Rechnungen korrekt, muss sich die Zeilensumme der umgeformten Zeile ergeben. Gauß jordan verfahren rechner youtube. System mit unendlich vielen Lösungen
(I) x + 4y = 8
(II) 3x + 12y = 24
Da die Gleichung (II) ein vielfaches der Gleichung (I) ist, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen.
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Man kann sie durch elementare Zeilenumformungen auf reduzierte Stufenform bringt. Gauß jordan verfahren rechner shoes. Zur besseren Übersicht werden Einträge der Matrix die gleich null sind Leer dargestellt. \begin{aligned}
\qquad & \qquad & \qquad & \qquad \\
&
\begin{array}{l}
| \\
| \rm II - 4 \cdot I \\
|
\end{array}
\\
& -2 & -3 & 1 \\
| \rm III - 9 \cdot I
& -6 & -8 & 3
| \rm III - 3 \cdot II
& & 1 & 0
| \rm: (-2) \\
& 1 & 3/2 & -1/2 \\
| \rm I - 1 \cdot III \\
| \rm II - 3/2 \cdot III \\
1 & 1 & & 0 \\
& 1 & & -1/2 \\
| \rm I - 1 \cdot II \\
1 & & & 1/2 \\
\end{aligned}
Schließlich befindet sich auf der linken Seite der Matrix die Einheitsmatrix. Die Lösung der Gleichung kann dann von der rechten Seite abgelesen werden:
$$ x_1 = \frac{1}{2} \qquad x_2 = -\frac{1}{2} \qquad x_3 = 0 $$
Weitere Anwendungen
Der Gauß-Jordan-Algorithmus kann auch zur Bestimmung der Inversen Matrix benutzt werden. Quellen
Wikipedia: Artikel über "Gauß-Jordan-Algorithmus"
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Ein weiteres Beispiel
II = II – I
III = III – 2*II
I = I + 5*II
Somit ist die Lösung a=8; b=-4; c=5. Wie man sieht muss die erste Zahl nicht unbedingt auf Eins gebracht werden um weiter zu rechnen. Gauß-Jordan-Algorithmus. Genauso wenig muss man im dritten Schritt immer subtrahieren. Man nutzt es so, wie es gerade am besten erscheint, Hauptsache man schafft stufenweise viele Nullen in der Matrix. Wie man sieht ist die praktische Anwendung nicht besonders schwierig und vor allem zeitsparender als andere Verfahren, was besonders in einer Klausur von Bedeutung ist.
Gauß-Jordan-Algorithmus Definition
Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus kann zum einen eine inverse Matrix berechnet werden (siehe Beispiel 1 unten). Grundidee: A × I = E (in Worten: Matrix mal Inverse der Matrix gleich Einheitsmatrix). Zum anderen können damit lineare Gleichungssysteme gelöst werden (siehe Beispiel 2 unten). Online-Rechner: Gauß Verfahren für lineare Gleichungsysteme mit einer beliebigen Anzahl von Variablen. Beispiele
Beispiel 1: Inverse einer Matrix mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen
Folgende Matrix soll invertiert werden:
$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&0 \\ 2&2&0 \\ 0&2&1 \end{array} \right)$$
Schritt 1: neben die (zu invertierende) Matrix rechts die Einheitsmatrix schreiben:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 2&2&0&0&1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$
Schritt 2: durch Umformungen die Einheitsmatrix nach links bringen, dann steht als Ergebnis rechts die inverse Matrix. Mögliche Umformungen:
Multiplikation von Zeilen mit einer reellen Zahl ungleich 0;
Addition oder Subtraktion von Zeilen;
Addition oder Subtraktion einer zuvor mit einer Zahl ungleich 0 multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.
Algorithmensammlung: Numerik
Dividierte Differenzen
Hermiteinterpolation
Horner-Schema
Quadratur
Gauß-Jordan-Algorithmus
Inverse Matrix
Determinante
Gauß-Jordan-Algorithmus [ Bearbeiten]
Der Gauß-Jordan-Algorithmus ist ein Verfahren zum Lösen eines linearen Gleichungssystems mithilfe von Zeilenumformungen (Zeilentausch, Subtraktion einer anderen Zeile). Näheres siehe Gauß-Jordan-Algorithmus. Pseudocode [ Bearbeiten]
Der hier skizzierte Algorithmus setzt eine invertierbare Koeffizientenmatrix m voraus, also ein eindeutig lösbares Gleichungssystem.