Diese Art von Argumentation führte Clarke zu einer formalen Ableitung der Poisson-Verteilung als Modell. Die beobachteten Trefferfrequenzen lagen sehr nahe an den vorhergesagten Poisson-Frequenzen. Verallgemeinerte Poisson-Verteilung. Daher berichtete Clarke, dass die beobachteten Variationen anscheinend nur zufällig generiert wurden. Holen Sie sich ein Britannica Premium-Abonnement und erhalten Sie Zugriff auf exklusive Inhalte. Jetzt abonnieren
Poissonverteilung | Formel, Beispiel, Definition, Mittelwert Und Varianz | Hi-Quality
Die gemischte Poisson-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung in der Stochastik, die univariat ist und zu den diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen zählt. Sie ist als allgemeiner Ansatz für die Schadenzahlverteilung in der Versicherungsmathematik zu finden und wird auch als epidemiologisches Modell untersucht. Poissonverteilung | Formel, Beispiel, Definition, Mittelwert und Varianz | Hi-Quality. Sie verallgemeinert die Poisson-Verteilung und sollte nicht mit der zusammengesetzten Poisson-Verteilung verwechselt werden. Eine Zufallsvariable genügt der Gemischten Poisson-Verteilung mit der Dichte, wenn sie die Wahrscheinlichkeiten besitzt. Wenn wir die Wahrscheinlichkeiten der Poisson-Verteilung mit bezeichnen, gilt folglich Im Folgenden sei der Erwartungswert der Dichte, und die Varianz dieser Dichte. Der Erwartungswert ergibt sich zu Für die Varianz erhält man Aus Erwartungswert und Varianz erhält man die Standardabweichung Für den Variationskoeffizienten ergibt sich: Die Schiefe lässt sich darstellen als Die charakteristische Funktion hat die Form Dabei ist die momenterzeugende Funktion der Dichte.
Verallgemeinerte Poisson-Verteilung
Dabei müssen allerdings einige Bedingungen erfüllt sein: Der Erwartungswert E(X) und die Varianz V(X) müssen nahezu gleich sein (E(X) = µ und V(X) = µ). Das kommt aber auch nur hin, wenn die Erfolgswahrscheinlichkeit p sehr klein und der Stichprobenumfang n recht groß ist, sodass die Komplementärwahrscheinlichkeit (Gegenwahrscheinlichkeit) q fast 1 ist und somit die Differenz zwischen E(X) = n∙p und V(X) = n∙p∙q vernachlässigbar klein ist. Als Beispiel soll das Glückspiel Roulette dienen, bei dem auf einem Rad 37 gleich große Fächer mit den Zahlen von 0 bis 36 existieren. Dieses soll nun 37 mal gedreht werden, um zu zeigen, dass das erwartete Ereignis, dass jede Zahl einmal getroffen wird, wahrscheinlich doch nicht eintreten wird. Dazu werden die Ereignisse betrachtet, dass ein Ereignis gar nicht auftritt, genau einmal oder mehr als einmal auftritt. Zum Beispiel soll die Null getroffen werden, wie wahrscheinlich ist es nun, dass diese gar nicht getroffen wird: Die Wahrscheinlichkeit wird mit der Formel für Binomialverteilungen ausgerechnet.
Damit hängt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten einer bestimmten Anzahl von Ereignissen in einem Intervall nur von dessen Umfang ab. Sind diese Bedingungen erfüllt und ist das Kontinuum die Zeit, spricht man von einem Poisson-Prozess. Poisson-Verteilung
Der Poisson-Verteilung liegt ein Zufallsexperiment zugrunde, bei dem ein Ereignis wiederholt, jedoch zufällig und unabhängig voneinander in einem Kontinuum (z. B. Zeit, Raum, Fläche, Strecke) vorgegebenen Umfangs auftreten kann. Die Zufallsvariable bezeichne die Anzahl der eingetretenen Ereignisse und ist daher diskret. Eine diskrete Zufallsvariable mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung
heißt Poisson-verteilt mit dem Parameter. In Kurzform schreibt man
Für die Verteilungsfunktion folgt:
Erwartungswert und Varianz der Poisson-Verteilung sind:. Der Wertebereich von umfasst alle natürlichen Zahlen. Die Poisson-Verteilung liegt für bestimmte und Schrittweiten tabelliert vor. Zusatzinformationen
Reproduktivitätseigenschaft
Sind und verteilt und unabhängige Zufallsvariablen, dann ist die Zufallsvariable ebenfalls Poisson-verteilt mit dem Parameter:
Poisson-Verteilung für Intervalle beliebigen Umfangs
Wenn die Anzahl von Ereignissen im Einheitsintervall -verteilt ist, dann ist die Anzahl von Ereignissen in einem Intervall des Umfangs Poisson-verteilt mit dem Parameter:
Herleitung der Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung lässt sich auch aus der Binomialverteilung herleiten.
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