Harmonisches Mittel als spezieller Mittelwert: Wenn sich Deine Beobachtungen auf Brüche mit konstantem Nenner zurückführen lassen, kannst Du anstelle des gewichteten arithmetischen Mittels alternativ das harmonische Mittel mit weniger Rechenaufwand bestimmen. Das folgende Beispiel zeigt das:
Stell Dir vor, Du kaufst täglich für 5 Euro Äpfel, wobei der Preis variiert. Tiervermittlung Tierschutz Hunde Ausland - ELIOTT WÜNSCHT SICH EIN ZUHAUSE. Du erhältst also für den gleichen Betrag jeden Tag eine unterschiedliche Anzahl von Äpfeln. Dich interessiert, wieviel Du im Mittel pro Stück bezahlst, und dokumentierst dazu Deinen Einkauf an fünf Tagen:
Tag
Anzahl
Preis pro Apfel
1
8
0, 63 €
2
5
1, 00 €
3
7
0, 71 €
4
6
0, 83 €
1, 25 €
Falsch wäre es, das einfache arithmetische Mittel aus den Preisen pro Apfel zu berechnen, da Du ja für den festen Betrag von fünf Euro täglich einkaufst und je nach Tagespreis eine unterschiedliche Stückzahl erhältst.
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Kategorie: Statistik Grundlagen
Definition: Harmonisches Mittel
Das Harmonische Mittel i st eine statistische Maßzahl, die eine zentrale Lage einer Verteilung beschreibt, und damit einen Mittelwert darstellt. Es handelt sich hierbei um einen speziellen Mittelwert, dessen Hauptanwendungsgebiet die Ermittlung des Mittelwerts von Verhältniszahlen ist. z. B. Geschwindigkeit km/h
Formel:
Hinsichtlich der Rechenanweisung kann man formulieren:
Das harmonische Mittel wird als Quotien t aus der Anzahl der Beobachtungswerte und deren summierten Kehrwerte berechnet. Harmonisches mittel forme.com. Erklärung:
= harmonisches Mittel
n = Anzahl der Beobachtungswerte
1/x 1 = Kehrwert des ersten Beobachtungswertes
1/x n = Kehrwert des n-ten Beobachtungswertes
Beispiel 1:
Berechne das harmonische Mittel von 10 und 40. = 2
1 / 10 + 1 / 40
= 16
Das harmonische Mittel von 10 und 40 ist 16. Beispiel 2:
Ein Zug fährt die ersten 50 km mit 100 km/h und weitere 50 km mit 150 km/h. Wir stellen eine Formel für die Durchschnittsgeschwindigkeit auf:
Wir definieren die Variablen:
s 1 = 50 km
s 2 = 50 km
v 1 = 100 km/h
v 2 = 150 km/h
= 100
0, 5 + 1/3
= 120 km/h
A: Der Zug fährt mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 120 km/h.
Weitere Eigenschaften [ Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Die weiteren Eigenschaften der harmonischen Funktionen sind größtenteils Konsequenzen der Mittelwerteigenschaft. Maximumprinzip: Im Innern eines zusammenhängenden Definitionsgebietes nimmt eine harmonische Funktion ihr Maximum und ihr Minimum nie an, außer wenn sie konstant ist. Besitzt die Funktion zudem eine stetige Fortsetzung auf den Abschluss, so werden Maximum und Minimum auf dem Rand angenommen. Glattheit: Eine harmonische Funktion ist beliebig oft differenzierbar. Tiervermittlung Tierschutz Hunde Ausland - MORIS WÜNSCHT SICH EIN HAUS MIT GARTEN. Dies ist insbesondere bei der Formulierung mit Hilfe der Mittelwerteigenschaft bemerkenswert, wo nur die Stetigkeit der Funktion vorausgesetzt wird. Abschätzung der Ableitungen: Sei harmonisch in. Dann gilt für die Ableitungen wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bezeichnet. Analytizität: Aus der Abschätzung der Ableitungen folgt, dass jede harmonische Funktion in eine konvergente Taylorreihe entwickelt werden kann. Satz von Liouville: Eine beschränkte harmonische Funktion ist konstant.
Achtung: Geometrischen Mittel und Arithmetisches Mittel sind hiervon abzugrenzen.
Siehe auch
Arithmetisches
Mittel
Geometrisches
Ungleichung
vom harmonischen und geometrischen Mittel
Basierend auf einem Artikel in:
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Jena, den: 11. 02. 2020