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Neil Gast
Neil Verfasst am: 17. Nov 2013 11:02 Titel: Dgl lösen
Hi,
ist es möglich folgende Dgl mit dem Exponentialansatz zu lösen? M. m. n. wäre besser die Trennung der Variablen (Separation) geeignet. TomS Moderator Anmeldungsdatum: 20. 03. 2009 Beiträge: 15137
TomS Verfasst am: 17. Nov 2013 11:07 Titel:
Es handelt sich um eine nichtlineare DGL, d. h. der Exponentialansatz ist ungeeignet. Trennung der Variablen funktioniert nur für DGLs erster Ordnung, du musst also zunächst deine DGL in
formulieren. _________________ Niels Bohr brainwashed a whole generation of theorists into thinking that the job (interpreting quantum theory) was done 50 years ago. Neil Verfasst am: 17. Fachbereich 02 - Wirtschaftswissenschaften: Startseite. Nov 2013 13:07 Titel:
Dann sehe die Gleichung ja wie folgt aus. (as_string: Hab die 0 durch ein Gleichheitszeichen ersetzt. Ich vermute mal, dass Du nur die Shift-Taste nicht richtig gedrückt hattest, oder? ) Neil Verfasst am: 17. Nov 2013 13:08 Titel:
Neil hat Folgendes geschrieben: Dann sehe die Gleichung ja wie folgt aus.
Dgl System Lösen Rechner
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Ähnlich einfache Lösungen wie bei Sin- oder Cos-Funktionen sind für die Exponentialfunktion
\(
y \left( t \right) = {e^{\lambda t}}
\)
Gl. 254
zu erwarten. Auch für die Ableitungen gilt
y\left( t \right) = {e^{\lambda t}}
Gl. 255
\begin{array}{l}
\dot y\left( t \right) = \lambda \cdot {e^{\lambda t}};
\\
\ddot y\left( t \right) = {\lambda ^2} \cdot {e^{\lambda t}}\\.....
\end{array}
Somit kann jede lineare n. Ordnung DGL durch Verwendung des Exponentialansatzes zur Lösung gebracht werden. Einsetzen in die homogene DGL von Gl. 234
{y^{(n)}}\left( t \right) +... + {a_2}\ddot y\left( t \right) + {a_1}\dot y\left( t \right) + {a_0}y\left( t \right) = 0
ergibt
{\lambda ^n}{e^{\lambda t}} +... Dgl lösen rechner grand rapids mi. + {\lambda ^2}{a_2}{e^{\lambda t}} + \lambda {a_1}{e^{\lambda t}} + {a_0}{e^{\lambda t}} = 0
Gl. 256
Ausklammern von e pt
\left( { {\lambda ^n} +... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0}} \right) \cdot {e^{\lambda t}} = 0
Gl. 257
Die triviale Lösung e pt =0 soll nicht betrachtet werden, also folgt:
{\lambda ^n} +... + {\lambda ^2}{a_2} + \lambda {a_1} + {a_0} = 0
Gl.
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Zunächst wird die Aufgabe so modifiziert, wenn sie nicht schon als homogene Aufgabe vorliegt,
dass durch Setzen von \(g(t) = 0\) die DGL homogenisiert wird. \(
\dot y\left( t \right) + a \cdot y\left( t \right) = 0
\)
Gl. 236
In dieser Form kann jetzt eine Trennung der Variablen durchgeführt werden,
indem das Differenzial \(\dot y\left( t \right) = \frac{ {dy}}{ {dt}}\)
formal wie ein Quotient betrachtet wird:
\frac{ {dy}}{ {dt}} + a \cdot y = 0
Gl. 237
Trennung der Variablen
\frac{ {dy}}{y} = - a \cdot dt
Gl. 238
Nunmehr kann auf beiden Seiten eine unbestimmte Integration angewendet werden
\int {\frac{ {dy}}{y}} = - a \cdot \int {dt}
Gl. 239
also \(\ln \left( y \right) + C = - at\) und schließlich
y = K \cdot {e^{ - at}}
Gl. Dgl system lösen rechner. 240
Wie bei jeder Integration, darf auch hier nicht das Hinzufügen einer unbestimmten Konstante vergessen werden,
da diese ja bei der Differenziation verschwindet. Diese Konstante wird dazu benutzt, gewisse Randbedingungen in die Lösung einzuarbeiten.
Dgl Lösen Rechner Grand Rapids Mi
Wenn Du dann die Variablen angleichst wäre das ziemlich sinnlos, oder? 08. 2012, 15:39
Nein, es folgt:
08. 2012, 15:45
Huggy
Du hast
Daraus folgt
Das Umschreiben von (*) in
durch formales Multiplizieren mit dx ist nur eine Merkregel für das, was man wirklich macht. Man integriert (*) auf beiden Seiten über x:
Und auf der linken Seite ergibt sich nach der Substitionsregel
08. 2012, 16:01
Das mit der Konstanten habe ich absichtlich gemacht - wie du ja selber sagst - egal ob Minus oder Plus=)
Und bei dem dy/dv habe ich mich unglücklicherweise natürlich dy/dx heißen
Aber vielen Dank nochmal! Auch an Huggy nochmal vielen Dank für die Hilfe! Habt mir sehr weitergeholfen! Wenn mir jetzt noch vllt Jemand einen Link oder Tipp zur Herleitung der Herleitung von INT 1/(1+v^2) dv geben kann? Dgl lösen rechner german. Vielen Dank nochmal! 08. 2012, 17:01
Das folgt ja direkt aus
Man kann höchstens noch die Ableitung des Arcustangens aus der Ableitung des Tangens herleiten. Dazu benutzt man, dass bei gilt:
Angewandt auf
bekommt man:
Ausgehend von folgender Gleichung:
integrierst Du links nach v und rechts nach x. Die Stammfunktion von
ist:
08. 2012, 15:09
Ich dachte weil ich substituiert habe könnte ich die Beziehung:
ausnutzen=/
dx ist ja soweit ich weiß= int *dx=x
Somit wäre dv=v
So habe ich das gesehen. Aber mache ich mal weiter mit dx statt dv
rücksubstituieren: tan(x+c)=y+x
Und nun aber nochmal die Frage: Warum genau brauche ich dx nicht mehr mit dv zu ersetzen?... =/
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08. 2012, 15:20
Ah ok ich sehe gerade - da y eine Funktion ist, die abhängig von x ist folgt nicht
dv/dx=1 sondern dv/dx=1+dy/dv
wie gesagt - dx/dy Rechenregeln etc sind mir nicht besonders geläufig. Wenn da jmd nen guten Link zu hat wäre ich auch sehr dankbar! 08. 2012, 15:36
Wenn mans genau nimmt, müsste die Lösung nach Deiner Rechnung so aussehen:
Da c aber eine unbestimmte Konstante ist spielt das keine Rolle. Gegenfrage: Warum solltest Du das tun? Lösung durch Trennung der Variablen (Lineare DGL) - Matheretter. Das Verfahren heißt ja Trennung der Veränderlichen. Ein wesentlicher Aspekt ist eben die Trennung der Variablen auf verschiedene Seiten.