Tatsächlich gilt
Satz (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)
Die Folgen und konvergieren gegen denselben Grenzwert. Außerdem gilt. Diese Zahl ist die sogenannte Euler-Mascheroni-Konstante. Sie wurde zum ersten Mal vom Mathematiker Leonhard Euler 1734 verwendet [1]. Bislang konnte nicht bewiesen werden, ob diese Zahl rational oder irrational ist. Keiner weiß es! Beweis (Asymptotisches Verhalten der harmonischen Reihe)
'
Beweisschritt: konvergiert. Es gilt Mit der -Ungleichung gilt zunächst
Damit sind alle Summanden der Reihe nicht-negativ, und somit monoton steigend. Weiter gilt erneut mit der -Ungleichung:
Damit ist
Also ist nach oben beschränkt. Nach dem Monotoniekriterium konvergiert. Mit der Monotonieregel für Grenzwerte gilt für den Limes mit dem eben Gezeigten:
Beweisschritt: konvergiert gegen denselben Grenzwert. Wir haben gerade gezeigt. Ist, so gilt weiter
Mit den Grenzwertsätzen folgt damit
Also konvergiert ebenfalls gegen. Warum wird ln(x) gegen 0 = -oo? (Mathe, unendlich). Beweisschritt:. Aus und folgt:
Nun ist
Damit folgt nun
Der Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe [ Bearbeiten]
Mit Hilfe der Folge können wir zeigen
Satz (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)
Es gilt
Beweis (Grenzwert der alternierenden harmonischen Reihe)
Aus dem bekannten Grenzwert für die Euler-Mascheroni-Konstante folgt für die Folge:
Da jeder Teilfolge gegen denselben Grenzwert konvergiert, gilt ebenso
Damit folgt
Andererseits ist
Zusammen erhalten wir
Daraus folgt die Behauptung.
Ln Von Unendlich 1
Und Thilo hat bei seiner Ungleichung die Folge ln(n) betrachtet, nicht ln(n)/n. 3 Antworten
Ich denke, dass man es so zeigen kann. Ln von unendlich youtube. Allerdings würde ich es in diesem Falle anders machen:
Da sowohl f ( n) = ln ( n) als auch g ( n) = n divergent sind, kann man die Regel von L'Hospital anwenden:
$$\lim _{ n\rightarrow \infty}{ \frac { f(n)}{ g(n)}} =\lim _{ n\rightarrow \infty}{ \frac { f'(n)}{ g'(n)}}$$
falls der Grenzwert auf der rechten Seite des Gleichheitszeichens existiert. Also:
$$\lim _{ n\rightarrow \infty}{ \frac { ln(n)}{ n}} =\lim _{ n\rightarrow \infty}{ \frac { \frac { 1}{ n}}{ 1}} =\lim _{ n\rightarrow \infty}{ \frac { 1}{ n}} =0$$
Beantwortet
JotEs
32 k
Hi Thilo,
ich sehe da jetzt keinen Fehler, aber dennoch einiges an Umständlichkeit. In einer Zeile (danke l'Hospital):
$$\lim_{n\to\infty} \frac{\ln(n)}{n} = l'H = \lim \frac{\frac1n}{1} = \lim\frac1n = 0$$;)
Grüße
Unknown
139 k 🚀
Ln Von Unendlich Amsterdam
Sie sind auf dieser website nur aufgeschrieben, damit du die jeweilige Berechnung des Grenzwertes besser nachvollziehen kannst. Du solltest die mit Anführungsstrichen versehenen Zwischenschritte bei Prüfungen lieber nicht auf dein Blatt schreiben. Nun schauen wir uns gleich ein paar Aufgabenbeispiele an. Im 1. Bsp. geht es ausnahmslos um einfachere Grenzwerte. Sie dienen eher der Vorübung für die schwierigeren nachfolgenden Aufgaben. Alle Teilaufgaben des ersten Beispiels solltest du im Prinzip im Kopf lösen können. Versuche es doch gleich selbst! 1. :
Ermittle die Ergebnisse folgender Grenzwerte! Warum konvergiert hier das Integral für alpha=1? (Mathematik, Analysis). a. ) b. ) c. )
d. ) e. ) f. )
g. ) h. )
Lösung:
Ein kleiner Tipp vorweg: Bei einem Polynom brauchst du immer nur die höchste x-Potenz und die Zahl davor beachten, wenn du den Grenzwert im Unendlichen berechnest. Du musst Unendlich bzw. Minus-Unendlich bloßbei dem x mit der höchsten Potenz einsetzen und dir vor allem das entstehende Vorzeichen überlegen. Nur die höchste x-Potenz mit der Zahl davor zählt!
Vom Fragesteller als hilfreich ausgezeichnet
Community-Experte
Mathematik, Mathe
Ich stimme schuhmode zu, das löst das Ganze am besten auf:
Für x → ∞ übersteigt ln(x) jede reellen Wert, ist also bestimmt divergent. Andere Sprechweise für die gleiche Gegebenheit: ln(x) "strebt gegen ∞" für x → ∞. ∞ ist aber keine Zahl. Da ein Grenzwert eine Zahl ist, hat ln(x) demgemäß für x → ∞ keinen Grenzwert. Die Schreibweise "ln(x) = ∞ für x → ∞" wird aber sinnvoll, wenn "∞" als uneigentlicher Grenzwert und Element des topologischen Abschlusses von R zugelassen wird. Ln-Funktion | Mathebibel. Also reduziert sich das Problem auf die Frage, ob als "Grenzwert" auch ein uneigentlicher Grenzwert zugelassen ist. Dein Professor führte offensichtlich eine solche Begrifflichkeit nicht ein. lim x ( x gegen 0) =ln x / 1 /x = lim 1/x /-1/ x^2 = lim (-x) = 0
Im strengen Sinne exisitert kein Grenzwert von ln(x) für x->oo. Die Konvergenzkriterien sind nicht erfüllt (sofern man die gewöhnlichen reellen Zahlen mit der gewöhnlichen Metrik zugrunde legt, wovon ich hier ausgehe. )